Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
f(x, y)= x^2 y2 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2y2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos achar todos os pontos onde f é contínua. O que vamos usar: (i) continuidade de quociente de funções contínuas quando o denominador não zera; (ii) teste de continuidade em (0,0) via limite em coordenadas polares.

Passo 2

Para temos , então é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não nulo. Logo é contínua em todo .

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Pela definição, precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Vamos usar coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r>=0.

Passo 4

Em coordenadas polares, para (x,y)neq(0,0),
f(rcostheta,,rsintheta) =(rcostheta)^2(rsintheta)2(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^3cos^2thetasinthetar^2l(2cos^2theta+sin^2thetar) =r;cos^2thetasintheta2cos^2theta+sin^2theta
Observe que
l|2cos^2theta+sin^2thetar| =2cos^2theta+sin^2theta =cos^2theta+1>=1, |cos^2thetasintheta|<=1
Logo
l|f(rcostheta,rsintheta)r|<= rcdot1=r
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue lim f(x,y)=0.

Passo 5

Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), e f é contínua também em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de é .

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