Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo:
(a) x^2 y^32 x^2+y^3 & , se (x, y) neq(0,0) 1 & , se (x, y)=(0,0)
(b) (x^2-y^2)(x-1)^2(x^2+y^2)((x-1)^2+(y-1)^2) & , se (x, y) neq(0,0) e (x, y) neq(1,1) 1 & , se (x, y)=(0,0) ou (x, y)=(1,1)
©
(d)
(e)
(f)

Passo 1

Resumo do enunciado: determinar o conjunto de pontos de continuidade de várias funções de duas variáveis. O conteúdo envolve continuidade de operações elementares (sen, exp, raiz, arctan, arcsin), quociente de funções contínuas e análises de definições por partes. Precisamos identificar o domínio de cada função e verificar limites em pontos especiais onde a definição muda ou o denominador anula.

Passo 2

Princípios gerais: funções elementares (polinômios, exponencial, seno, raiz, arctan, arcsin) são contínuas em seus domínios naturais. A razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador não zera. Composição de funções contínuas é contínua onde todas as composições estão definidas. Em definições por partes, a continuidade num ponto exige que o limite da parte principal coincida com o valor atribuído naquele ponto.

Passo 3

Para (a) analisamos
f(x,y)=sin(xy)e^x - y^2
Numerador e denominador são contínuos em . Logo R^2 é contínua em todos os pontos onde
f

Passo 4

Para (b) temos
f(x,y)=raizx - y^31 - x^2 - y^2
A raiz exige x - y^3 >= 0 e o denominador exige 1 - x^2 - y^2 neq 0. Como raizcdot e quociente são contínuos em seus domínios, f é contínua em
[
{(x,y):x - y^3 \ge 0,\ x^2 + y^2 \neq 1}.

Passo 5

Para © temos
f(x,y)=arctanl(x+raiz1/yr)
Precisamos de 1/y>=0 e yneq0, ou seja y>0. Como raizcdot e arctan são contínuas em seus domínios, f é contínua em
[
{(x,y):y>0}.

Passo 6

Para (d) temos
f(x,y)=arcsin(x^2+y^2)
O arcsin exige -1<= x^2+y^2<=1, mas x^2+y^2>=0 sempre, logo a condição é
x^2+y^2<=1
Arcsin é contínua em [-1,1], então f é contínua em
[
{(x,y):x2+y2\le1}.

Passo 7

Para (e) definimos
f(x,y)= dfracx^2y^32x^2+y^3,&(x,y)neq(0,0), 1,&(x,y)=(0,0)
Para (x,y)neq(0,0), a continuidade exige apenas 2x^2+y^3neq0. Em (0,0) o limite do quociente é 0 (por exemplo ao longo de x=0), diferente de 1, então f é descontínua em (0,0). Logo f é contínua em
[
{(x,y):(x,y)\neq(0,0),\ 2x2+y3\neq0}.

Passo 8

Para (f) temos
f(x,y)= dfrac(x^2-y^2)(x-1)^2(x^2+y^2)[(x-1)^2+(y-1)^2],&(x,y)neq(0,0),(1,1), 1,&(x,y)=(0,0) ou (1,1)
Fora de (0,0) e (1,1) o denominador não zera e f é contínua. Nos pontos especiais os limites valem 1/2 e 0, respectivamente, distintos de 1, logo há descontinuidade em ambos. Portanto f é contínua em

Resposta

(a) (x,y):e^x-y^2neq0
(b) (x,y):x-y^3>=0, x^2+y^2neq1
© (x,y):y>0
(d) (x,y):x^2+y^2<=1
(e) (x,y):(x,y)neq(0,0), 2x^2+y^3neq0
(f)

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