Resumo do enunciado: determinar o conjunto de pontos de continuidade de várias funções de duas variáveis. O conteúdo envolve continuidade de operações elementares (sen, exp, raiz, arctan, arcsin), quociente de funções contínuas e análises de definições por partes. Precisamos identificar o domínio de cada função e verificar limites em pontos especiais onde a definição muda ou o denominador anula.
Passo 2
Princípios gerais: funções elementares (polinômios, exponencial, seno, raiz, arctan, arcsin) são contínuas em seus domínios naturais. A razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador não zera. Composição de funções contínuas é contínua onde todas as composições estão definidas. Em definições por partes, a continuidade num ponto exige que o limite da parte principal coincida com o valor atribuído naquele ponto.
Passo 3
Para (a) analisamos
f(x,y)=sin(xy)e^x - y^2
Numerador e denominador são contínuos em . Logo R^2 é contínua em todos os pontos onde
f
Passo 4
Para (b) temos
f(x,y)=raizx - y^31 - x^2 - y^2
A raiz exige x - y^3 >= 0 e o denominador exige 1 - x^2 - y^2 neq 0. Como raizcdot e quociente são contínuos em seus domínios, f é contínua em
Para (x,y)neq(0,0), a continuidade exige apenas 2x^2+y^3neq0. Em (0,0) o limite do quociente é 0 (por exemplo ao longo de x=0), diferente de 1, então f é descontínua em (0,0). Logo f é contínua em
[
{(x,y):(x,y)\neq(0,0),\ 2x2+y3\neq0}.
Passo 8
Para (f) temos
f(x,y)= dfrac(x^2-y^2)(x-1)^2(x^2+y^2)[(x-1)^2+(y-1)^2],&(x,y)neq(0,0),(1,1), 1,&(x,y)=(0,0) ou (1,1)
Fora de (0,0) e (1,1) o denominador não zera e f é contínua. Nos pontos especiais os limites valem 1/2 e 0, respectivamente, distintos de 1, logo há descontinuidade em ambos. Portanto f é contínua em