Questão 5
Resolver a equação diferencial seguinte em
:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver em
a equação
Esta é uma equação diferencial de Bernoulli de primeira ordem (grau
). Para solucioná-la, vamos reescrever na forma padrão, usar a substituição
e aplicar fator integrante.
Passo 2
Dividimos tudo por
para colocar em forma padrão de Bernoulli:
Aqui temos
,
e
.
Passo 3
Identificação da substituição: para equações de Bernoulli com
usamos
Então calculamos
.
Passo 4
Expressão de
em função de
: como
, temos
Substituindo em
obtemos, após dividir por
$$
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -x^2 e^x.
$$
Passo 5
Cálculo do fator integrante para a equação linear:
Multiplicando toda a equação por
, o lado esquerdo vira derivada exata:
Passo 6
Integrando ambos os lados e incluindo constante
:
Multiplicando por
dá
Passo 7
Retornando à variável original: como
, temos
Resposta
y(x) = \frac{1}{Cx - (x^2 - x)e^x},.