Questão 5

Resolver a equação diferencial seguinte em [1,+infty[ :
x y^prime+y=y^2 x^3 e^x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver em [1,+infty) a equação
x,y' + y = y^2,x^3 e^x
Esta é uma equação diferencial de Bernoulli de primeira ordem (grau n=2). Para solucioná-la, vamos reescrever na forma padrão, usar a substituição u = y^-1 e aplicar fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por x para colocar em forma padrão de Bernoulli:
y' + 1xy = y^2,x^2 e^x
Aqui temos P(x)=1/x, Q(x)=x^2e^x e n=2.

Passo 3

Identificação da substituição: para equações de Bernoulli com nneq1 usamos
u = y^1-n = y^-1
Então calculamos du/dx = -y^-2y'.

Passo 4

Expressão de y' em função de du/dx: como du/dx = -y^-2y', temos
y' = -y^2 dudx
Substituindo em
y' + 1xy = y^2 x^2 e^x
obtemos, após dividir por y^2, a equação linear
$$
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -x^2 e^x.
$$

Passo 5

Cálculo do fator integrante para a equação linear:
mu(x) = e^integral -tfrac1x dx = x^-1
Multiplicando toda a equação por x^-1, o lado esquerdo vira derivada exata:

Passo 6

ddxl(u x^-1r) = -x e^x
Integrando ambos os lados e incluindo constante C:
u x^-1 = integral -x e^x dx + C = -(x-1)e^x + C
Multiplicando por x
u = -(x^2 - x)e^x + Cx

Passo 7

Retornando à variável original: como u = y^-1, temos
y = 1u = 1Cx - (x^2 - x)e^x

Resposta

y(x) = \frac{1}{Cx - (x^2 - x)e^x},.

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