Um sistema de números é definido como um sistema ordenado se contiver um subconjunto
com as seguintes propriedades:
Primeira, para qualquer número não nulo
no sistema,
ou
(apenas um deles) está em
.
Segunda, se
e
forem números em
, então
e
estão em
.
No sistema de números reais, o conjunto
é o conjunto de números positivos. No sistema de números reais, dizemos que
é maior que
, denotado por
, se e somente se
estiver em
. Discuta por que não cxiste um tal conjunto
no sistema de números complexos. [Sugestão: considere
e
.]
Primeira, para qualquer número não nulo
Segunda, se
Passo 1
A questão pede para mostrar que não existe um subconjunto P de
que torne
um campo ordenado, ou seja, com uma relação “>” compatível com soma e produto. O conteúdo aqui é Campos Ordenados e vamos precisar usar as propriedades de sinal (fechamento em soma e produto) junto com a condição de que, para todo
, exatamente um de
ou
está em P.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista tal conjunto
. Pela primeira propriedade, para o número
ou
ou
, mas não ambos.
Passo 3
Se
então, pelo fechamento em produto, temos
.
Se então
.
Em qualquer caso, concluímos que , ou seja,
.
Se
Em qualquer caso, concluímos que
Passo 4
Pela segunda propriedade de multiplicação, de
vem
.
Então . Agora, pelo fechamento em soma, como
e
, temos
.
Isso viola a condição de que nenhum zero pode estar em . Contradição.
Então
Isso viola a condição de que nenhum zero pode estar em
Resposta
Não existe tal conjunto P no sistema dos complexos, pois levaria a colocar
em P, contrariando a definição.