Um sistema de números é definido como um sistema ordenado se contiver um subconjunto P com as seguintes propriedades:
Primeira, para qualquer número não nulo x no sistema, x ou -x (apenas um deles) está em P.
Segunda, se x e y forem números em P, então x y e x+y estão em P.
No sistema de números reais, o conjunto P é o conjunto de números positivos. No sistema de números reais, dizemos que x é maior que y, denotado por x>y, se e somente se x-y estiver em P. Discuta por que não cxiste um tal conjunto P no sistema de números complexos. [Sugestão: considere i e -i.]

Passo 1

A questão pede para mostrar que não existe um subconjunto P de C que torne C um campo ordenado, ou seja, com uma relação “>” compatível com soma e produto. O conteúdo aqui é Campos Ordenados e vamos precisar usar as propriedades de sinal (fechamento em soma e produto) junto com a condição de que, para todo xneq0, exatamente um de x ou -x está em P.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista tal conjunto PsubsetC. Pela primeira propriedade, para o número ineq0 ou iin P ou -iin P, mas não ambos.

Passo 3

Se iin P então, pelo fechamento em produto, temos
icdot i = i^2 = -1 in P.
Se -iin P então
(-i)cdot(-i) = -1 in P.
Em qualquer caso, concluímos que -1in P, ou seja, -1>0.

Passo 4

Pela segunda propriedade de multiplicação, de -1in P vem
1 = (-1)cdot(-1) in P.
Então 1>0. Agora, pelo fechamento em soma, como 1in P e -1in P, temos
0 = 1 + (-1) in P.
Isso viola a condição de que nenhum zero pode estar em P. Contradição.

Resposta

Não existe tal conjunto P no sistema dos complexos, pois levaria a colocar 0 em P, contrariando a definição.

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