Questão 6

Resolver a equação diferencial seguinte em ] 0,+infty[ :
l x y^prime=x^4+3 y y(1)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial em ]0,+∞[ dada por
x,y'=x^4+3y,
com condição inicial y(1)=5. O conteúdo é EDO de primeira ordem linear e vamos precisar da técnica do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos a equação por x (já que x>0) para colocá-la na forma padrão y’+P(x)
y=Q(x):
y'-3xy=x^3

Passo 3

Em uma EDO linear y’+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx
Aqui P(x)=-3/x, então
mu(x)=e^-3integral1x,dx=e^-3ln x=x^-3

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por μ(x)=x^{-3}, obtendo
x^-3y'-3x^-4y=1,
que é exatamente
ddxl(x^-3yr)=1
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^-3y=x+C(C constante)

Passo 5

Voltando a y, temos
y=x^3(x+C)=x^4+Cx^3
Aplicando a condição y(1)=5:
5=1^4+Ccdot1^3=1+Cimplies C=4

Resposta

O solução geral satisfaz a condição inicial e é
$$
y(x)=x4+4x3.$$

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