Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo:
f(x, y)=\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\arcsin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede o conjunto de pontos em que ela é contínua. Vamos usar que soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas, e que \arcsin(u) é contínua em todo [-1,1].

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como \arcsin(u) exige
u\in[-1,1],
precisamos de
x^{2}+y^{2}\in[-1,1].
Mas como x^{2}+y^{2}\ge0 para todos (x,y), essa condição vira
0\le x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 3

Observamos que (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua em \mathbb{R}^{2}. Além disso, \arcsin(u) é contínua em todo o intervalo [-1,1]. Pelo teorema da composição, f(x,y)=\arcsin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) é contínua exatamente onde seu argumento está em [-1,1], ou seja, onde x^{2}+y^{2}\le1.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

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