Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
h(x, y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
h(x,y) = \frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}},
no domínio x^{2}+y^{2}\neq0.
Conteúdo: regra do quociente para derivadas parciais e diferenciação sucessiva.

Passo 2

Calcular \displaystyle h_{x}=\frac{\partial h}{\partial x} usando a regra do quociente. Denote
N(x,y) = x^{3} + y^{2}, \quad D(x,y) = x^{2} + y^{2}.
Então N_{x}=3x^{2} e D_{x}=2x. Assim
h_{x} = \frac{N_{x}\,D \;-\; N\,D_{x}}{D^{2}} = \frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2}) \;-\; (x^{3}+y^{2})\,2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle h_{y}=\frac{\partial h}{\partial y} da mesma forma. Temos N_{y}=2y e D_{y}=2y, logo
h_{y} = \frac{N_{y}\,D \;-\; N\,D_{y}}{D^{2}} = \frac{2y\,(x^{2}+y^{2}) \;-\; (x^{3}+y^{2})\,2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{2y\bigl(x^{2}+y^{2}-x^{3}-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{2y\,x^{2}(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle h_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(h_{x}). Seja
A(x,y)=3x^{2}(x^{2}+y^{2}) -2x(x^{3}+y^{2}), \quad D(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que h_{x}=A/D^{2}. Então
A_{x} =6x(x^{2}+y^{2}) +3x^{2}\cdot2x \;-\;2(x^{3}+y^{2}) -2x\cdot3x^{2} =4x^{3}+6x y^{2}-2y^{2}, \quad D_{x}=2x,
e pela regra do quociente
h_{xx} = \frac{A_{x}\,D \;-\;2\,A\,D_{x}}{D^{3}} = \frac{(4x^{3}+6xy^{2}-2y^{2})(x^{2}+y^{2}) \;-\;4x\bigl[\,3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})\bigr]}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle h_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(h_{x}). Mantendo A e D do passo anterior,
A_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[3x^{2}(x^{2}+y^{2}) -2x(x^{3}+y^{2})\bigr] =6x^{2}y -4xy, \quad D_{y}=2y.
Logo
h_{xy} = \frac{A_{y}\,D \;-\;2\,A\,D_{y}}{D^{3}} = \frac{(6x^{2}y-4xy)(x^{2}+y^{2}) \;-\;4y\bigl[3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})\bigr]}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 6

Calcular \displaystyle h_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(h_{y}). Denote
B(x,y)=2y(x^{2}+y^{2})-2y(x^{3}+y^{2})=2x^{2}y-2x^{3}y, \quad D(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Temos
B_{y}=2x^{2}-2x^{3}, \quad D_{y}=2y,
portanto
h_{yy} = \frac{B_{y}\,D \;-\;2\,B\,D_{y}}{D^{3}} = \frac{(2x^{2}-2x^{3})(x^{2}+y^{2}) \;-\;4y\,(2x^{2}y-2x^{3}y)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Resposta

h_{x} = \frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2}) -2x(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad h_{y} = \frac{2y(x^{2}+y^{2}) -2y(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
h_{xx} = \frac{(4x^{3}+6xy^{2}-2y^{2})(x^{2}+y^{2}) -4x\bigl[\,3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})\bigr]}{(x^{2}+y^{2})^{3}},
h_{xy} = \frac{(6x^{2}y-4xy)(x^{2}+y^{2}) -4y\bigl[\,3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})\bigr]}{(x^{2}+y^{2})^{3}},
h_{yy} = \frac{(2x^{2}-2x^{3})(x^{2}+y^{2}) -4y\,(2x^{2}y-2x^{3}y)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

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