Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
z=e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
z = e^{-x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia para obter as primeiras derivadas, e depois uso da regra do produto para as segundas derivadas.

Passo 2

Definimos
u(x,y) = -x^{2}-y^{2},
de modo que z=e^{u}. Calculamos
u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}=-2x, \qquad u_{y}=\frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Pela regra da cadeia, as primeiras derivadas são
\frac{\partial z}{\partial x} = u_{x}\,e^{u} = -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = u_{y}\,e^{u} = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\,e^{u}\bigr).
Usando regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(-2x)\cdot e^{u} +(-2x)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(e^{u}) = -2\,e^{u} +(-2x)\bigl(e^{u}\,u_{x}\bigr).
Substituindo u_{x}=-2x e e^{u}=e^{-x^{2}-y^{2}}, vem
z_{xx} = -2\,e^{-x^{2}-y^{2}} +(-2x)(-2x)\,e^{-x^{2}-y^{2}} = \bigl(4x^{2}-2\bigr)\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

De forma análoga, \displaystyle z_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2y\,e^{u}).
Pela mesma conta:
z_{yy} = -2\,e^{u} +(-2y)(-2y)\,e^{u} = \bigl(4y^{2}-2\bigr)\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 5

Para a derivada mista \displaystyle z_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\,e^{u}\bigr),
aplicamos regra do produto em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(-2x)\cdot e^{u} +(-2x)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(e^{u}) = 0 +(-2x)\bigl(e^{u}\,u_{y}\bigr) = (-2x)(-2y)\,e^{u} = 4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Pela igualdade das derivadas cruzadas contínuas, z_{yx}=z_{xy}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}, \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = \bigl(4x^{2}-2\bigr)\,e^{-x^{2}-y^{2}}, \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = \bigl(4y^{2}-2\bigr)\,e^{-x^{2}-y^{2}}, \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x} = 4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

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