Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia para obter as primeiras derivadas, e depois uso da regra do produto para as segundas derivadas.
Passo 2
Definimos
de modo que
. Calculamos
Pela regra da cadeia, as primeiras derivadas são
Passo 3
Agora calculamos
.
Usando regra do produto:
Usando regra do produto:
Substituindo
e
, vem
Passo 4
De forma análoga,
.
Pela mesma conta:
Pela mesma conta:
Passo 5
Para a derivada mista
,
aplicamos regra do produto em relação a :
aplicamos regra do produto em relação a
Pela igualdade das derivadas cruzadas contínuas,
.