Seja f(x, y)=3 x^{3} y^{2}. Determine
f_{x}(x, 1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{3}y^{2}
e pede a derivada parcial de f em relação a x, avaliada em y=1. O conteúdo aqui é derivada parcial, onde tratamos y como constante ao derivar em x.

Passo 2

A definição de derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr).
Nesse processo, y^{2} é visto como constante.

Passo 3

Aplicando a regra do poder e o fator constante, obtemos
f_x(x,y) =3\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)\cdot y^{2} =3\cdot(3x^{2})\cdot y^{2} =9x^{2}y^{2}.

Passo 4

Agora basta substituir y=1:
f_x(x,1)=9x^{2}\cdot1^{2}=9x^{2}.

Resposta

f_x(x,1)=9x^{2}

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