Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{|x-3|}{x-3}, & \text { se } & x \neq 3, \\\\ 1, & \text { se } & x=3 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}\dfrac{|x-3|}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] 1, & \text{se } x=3.\end{cases}
A tarefa é: determinar o conjunto dos pontos do domínio onde f é contínua.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão \dfrac{|x-3|}{x-3} vale apenas para x\neq 3.
  • O valor de f no ponto x=3 é f(3)=1.
  • Não há outras restrições ao domínio explícitas no enunciado, então considerar todos os x\in\mathbb{R} como possível domínio inicial.]

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a expressão \dfrac{|x-3|}{x-3}\) para \(x\neq 3\). Lembrete útil sobre valor absoluto: para qualquer número \(t\), \[|t|=\begin{cases}t, & \text{se } t\ge 0,\\\\ -t, & \text{se } t<0.\end{cases}
Aplicando com t=x-3\], obtemos \[|x-3|=\begin{cases}x-3, & \text{se } x\ge 3,\\\\ -(x-3), & \text{se } x<3.\end{cases}\] Como estamos trabalhando com \(\dfrac{|x-3|}{x-3} e há a condição x\neq 3, podemos separar em dois casos (estritamente > e <).

Passo 3

Calcule a razão nos dois ramos para x\neq 3.
Se x>3, então |x-3|=x-3 e
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1.
Se x<3, então |x-3|=-(x-3) e
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1.
Portanto, para x\neq 3 a função vale
f(x)=\begin{cases}1, & \text{se } x>3,\\\\ -1, & \text{se } x<3.\end{cases}

Passo 4

Vou lembrar rapidinho o que significa continuidade num ponto a. A função f é contínua em a se, e só se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
No caso de pontos onde pode haver “quebra” (como a=3 aqui), é útil olhar os limites laterais:
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{(limite pela esquerda)}\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)\quad\text{(limite pela direita)}.
Se esses dois limites laterais existem e são iguais, então o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a esse valor; caso contrário, o limite não existe e a função não pode ser contínua em a.

Passo 5

Análise para pontos a\neq 3. Tome qualquer a>3. Nas fórmulas obtidas no Passo 3, em alguma vizinhança de a (por exemplo intervalo (3,3+\varepsilon) pequeno o bastante) a função assume o valor constante 1. Uma função constante é contínua: para todo a>3,
\lim_{x\to a} f(x)=1=f(a).
Análogo para qualquer a<3: em uma vizinhança de a a função é constantemente -1, logo para todo a<3
\lim_{x\to a} f(x)=-1=f(a).
Assim, para todo ponto a\neq 3 a função tem limite (igual ao valor) porque localmente é constante.

Passo 6

Agora verificar o ponto x=3. Calculamos os limites laterais usando a expressão do Passo 3 (pegamos dali que para x<3 vale -1 e para x>3 vale 1).
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 3^-} f(x) = -1.
Limite pela direita:
\lim_{x\to 3^+} f(x) = 1.
Os limites laterais são diferentes ( -1 e 1), portanto o limite \lim_{x\to 3} f(x) não existe. Como o limite em 3 não existe, não pode ser igual ao valor dado f(3)=1; assim, f não é contínua em 3.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{3\} e descontínua em \{3\}.

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