- Responder a cada item, justificando sua resposta:
A equação
, possui alguma raiz no intervalo
?
A equação
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta se ela possui alguma raiz no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é
. - O intervalo a verificar é
.
A tarefa é responder se existe algumem que satisfaça a equação e justificar.
Passo 2
Transformar a equação numa função ajuda a aplicar teoremas padrão. Defino
Explicação breve e útil:
é um polinômio (de grau 2), e polinômios são funções contínuas em todo
. Um resultado muito útil para este tipo de pergunta é o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe algum
em
tal que
. Vou calcular
e
e usar o TVI.
Passo 3
Calcular
. Faço a conta passo a passo:
Passo 4
Calcular
. Faço a conta passo a passo:
Passo 5
Observar os sinais obtidos:
e
. Como
é contínua em
e os valores nas extremidades têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um
em
tal que
Isto já responde que existe uma raiz no intervalo pedido.
Passo 6
Para ser mais explícito, resolver a equação exatamente:
Agora mostrar que a raiz negativa está em
. Primeiro note que
logo
. Multiplicando por
(e invertendo desigualdades) obtém-se
ou seja,
. Portanto a raiz
está dentro do intervalo dado.
Passo 7
Resumo final do raciocínio (curtinho e motivador): a função
muda de sinal entre
e
, então por continuidade e pelo TVI existe uma raiz nesse intervalo; resolvendo a equação encontramos
como essa raiz, e verificamos rigidamente que
.
Resposta
Sim.