1. Responder a cada item, justificando sua resposta:
    A equação x^{2}-2=0, possui alguma raiz no intervalo [-2,-1] ?

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{2}-2=0 e pergunta se ela possui alguma raiz no intervalo [-2,-1].
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é x^{2}-2=0.
  • O intervalo a verificar é [-2,-1].
    A tarefa é responder se existe algum x em [-2,-1] que satisfaça a equação e justificar.

Passo 2

Transformar a equação numa função ajuda a aplicar teoremas padrão. Defino
f(x)=x^{2}-2.
Explicação breve e útil: f é um polinômio (de grau 2), e polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Um resultado muito útil para este tipo de pergunta é o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe algum c em (a,b) tal que f\text{(c)}=0. Vou calcular f(-2) e f(-1) e usar o TVI.

Passo 3

Calcular f(-2). Faço a conta passo a passo:
f(-2)=(-2)^{2}-2=4-2=2.

Passo 4

Calcular f(-1). Faço a conta passo a passo:
f(-1)=(-1)^{2}-2=1-2=-1.

Passo 5

Observar os sinais obtidos: f(-2)=2>0 e f(-1)=-1<0. Como f é contínua em [-2,-1] e os valores nas extremidades têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um c em (-2,-1) tal que
f\text{(c)}=0.
Isto já responde que existe uma raiz no intervalo pedido.

Passo 6

Para ser mais explícito, resolver a equação exatamente:
x^{2}-2=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Agora mostrar que a raiz negativa está em [-2,-1]. Primeiro note que
1^{2}=1<2<4=2^{2},
logo 1<\sqrt{2}<2. Multiplicando por -1 (e invertendo desigualdades) obtém-se
-2<-\sqrt{2}<-1,
ou seja, -\sqrt{2}\in(-2,-1)\subset[-2,-1]. Portanto a raiz -\sqrt{2} está dentro do intervalo dado.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (curtinho e motivador): a função f(x)=x^{2}-2 muda de sinal entre -2 e -1, então por continuidade e pelo TVI existe uma raiz nesse intervalo; resolvendo a equação encontramos -\sqrt{2} como essa raiz, e verificamos rigidamente que -\sqrt{2}\in(-2,-1).

Resposta

Sim. -\sqrt{2}

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