Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua: f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } & x \neq 3, \\\\ 2, & \text { se } & x=3 .\end{array}\right.
O que o problema pede: determinar o conjunto (os pontos do domínio) em que f é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Para x\neq 3 a função é dada pela expressão racional \dfrac{x^{2}-9}{x-3}.
No ponto x=3 a função toma o valor f(3)=2.
Deve-se decidir para quais pontos a do domínio vale a propriedade de continuidade.]
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (a aula rapidinha):
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se valem simultaneamente:
f(a) está definido;
o limite \lim_{x\to a} f(x) existe;
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Em forma curta: f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a) (implícito que f(a) existe).
Vou usar essa definição para testar continuidade nos pontos do domínio.
Passo 3
Determinar o domínio de f.
A expressão \dfrac{x^{2}-9}{x-3} não está definida em x=3 porque o denominador vira zero. Porém a definição por partes dá explicitamente f(3)=2. Portanto a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Passo 4
Análise de f para x\neq 3.
Fatorando o numerador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Para x\neq 3 podemos cancelar o fator (x-3) e obtemos
\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3\qquad\text{(válido apenas para }x\neq 3\text{)}.á
Portanto, para todo x\neq 3 vale f(x)=x+3. Agora uma observação importante sobre continuidade: funções polinomiais (como x+3) são contínuas em todo \mathbb{R}. Logo, sempre que a\neq 3 temos que f coincide com o polinômio x+3 em um entorno de a, portanto \lim_{x\to a} f(x)=a+3=f(a). Conclusão parcial: f é contínua em todo ponto a tal que a\neq 3.
Pequeno lembrete prático: para mostrar continuidade num ponto a\neq3 basta notar que perto de a (exceto possivelmente em 3) a expressão reduz a x+3, e polinômios não dão dor de cabeça com limite — basta substituir.
Passo 5
Análise em x=3. Devemos verificar as três condições da definição:
f(3) está definido: sim, f(3)=2 (dado).
Calcular o limite \lim_{x\to 3} f(x). Como a expressão para x\neq 3 é igual a x+3, podemos calcular
(Aqui a simplificação foi permitida porque o limite considera x próximos de 3 mas distintos de 3.)
Comparar limite com o valor: \lim_{x\to 3} f(x)=6 e f(3)=2. Como 6\neq 2, a condição \lim_{x\to 3} f(x)=f(3) falha.
Portanto f não é contínua em x=3. Observação conceitual: esse é um exemplo de descontinuidade removível — o limite existe (é 6) mas a função foi definida com um valor diferente no ponto; para “consertar” a continuidade bastaria redefinir f(3):=6.
Passo 6
Resumo do que foi concluído nos passos anteriores (sem repetir notações adicionais): foi mostrado que em todo a\neq 3 a função coincide com o polinômio x+3 (logo é contínua) e que em a=3 o limite existe e é diferente do valor dado, logo há descontinuidade em 3.