Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua:
f(x)=\frac{3}{x+2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos do domínio em que a função f é contínua.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{3}{x+2}.
  • Como a função envolve divisão, ela não está definida quando o denominador é zero. Portanto, x=-2 é um ponto onde f não está definida.
  • Assim, o domínio natural que extraímos da expressão é \mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 2

O que significa “ser contínua num ponto”? Vou explicar com calma.
Definição (intuitiva e precisa):
  • Dizemos que f é contínua em um ponto a do domínio se a função não tem salto, buraco ou oscilação infinitamente rápida naquele ponto. Formalmente, usamos a definição dos limites:
\text{\(f\) é contínua em \(a\) se } \lim_{x\to a} f(x) = f(a).éí
  • Isso exige duas coisas: (1) a pertence ao domínio de f (ou seja, f(a) está definido) e (2) o limite de f(x) quando x tende a a existe e é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função dada com as regras de limites elementares (essas regras são coisas que você pode usar na prova sem demonstrar cada vez: soma, produto e quociente de limites funcionam quando os limites das partes existem, e no caso do quociente o limite do denominador não pode ser zero).
Propriedades que usarei:
  • A função identidade x\mapsto x é contínua: \lim_{x\to a} x = a.
  • A soma com constante é contínua: \lim_{x\to a} (x+2) = a+2.
  • Constantes tiram-se fora do limite: \lim_{x\to a} 3 = 3.
  • Se \lim_{x\to a} g(x)=L e L\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{3}{g(x)} = \dfrac{3}{L}.

Passo 4

Escolha um ponto a qualquer do domínio, isto é, qualquer a tal que a\neq -2. Vou calcular o limite de f(x) quando x\to a:
Primeiro encontro o limite do denominador:
\lim_{x\to a} (x+2) = a+2,
porque \lim_{x\to a} x = a e somar 2 preserva o limite.
Como a\neq -2, temos a+2 \neq 0. Portanto o limite do denominador é diferente de zero, e posso aplicar a regra do quociente:
\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \frac{3}{x+2} = \frac{\lim_{x\to a} 3}{\lim_{x\to a} (x+2)} = \frac{3}{a+2}.
Mas \dfrac{3}{a+2} é exatamente o valor da função em a, isto é, f(a)=\dfrac{3}{a+2}. Assim obtivemos
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Pelo critério de continuidade, isso mostra que f é contínua em qualquer a do domínio (em todo ponto onde f está definida).

Passo 5

E quanto a x=-2? A função não está definida em x=-2 (o denominador anula), então não faz sentido falar em continuidade ali — continuidade só é definida em pontos do domínio. Portanto x=-2 não pertence ao conjunto de continuidade.

Passo 6

Resumo final (intuitivo): f é uma função racional simples (uma constante dividida por uma expressão linear). Essas funções são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. No nosso caso o único ponto proibido é x=-2.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-2\}

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