Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função
é contínua:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos do domínio em que a função
é contínua.
Informações dadas:
- A função é
. - Como a função envolve divisão, ela não está definida quando o denominador é zero. Portanto,
é um ponto onde não está definida. - Assim, o domínio natural que extraímos da expressão é
.
Passo 2
O que significa “ser contínua num ponto”? Vou explicar com calma.
Definição (intuitiva e precisa):
- Dizemos que
é contínua em um ponto do domínio se a função não tem salto, buraco ou oscilação infinitamente rápida naquele ponto. Formalmente, usamos a definição dos limites:
- Isso exige duas coisas: (1)
pertence ao domínio de (ou seja, está definido) e (2) o limite de quando tende a existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função dada com as regras de limites elementares (essas regras são coisas que você pode usar na prova sem demonstrar cada vez: soma, produto e quociente de limites funcionam quando os limites das partes existem, e no caso do quociente o limite do denominador não pode ser zero).
Propriedades que usarei:
- A função identidade
é contínua: . - A soma com constante é contínua:
. - Constantes tiram-se fora do limite:
. - Se
e , então .
Passo 4
Escolha um ponto
qualquer do domínio, isto é, qualquer
tal que
. Vou calcular o limite de
quando
:
Primeiro encontro o limite do denominador:
porque
e somar
preserva o limite.
Como
, temos
. Portanto o limite do denominador é diferente de zero, e posso aplicar a regra do quociente:
Mas
é exatamente o valor da função em
, isto é,
. Assim obtivemos
Pelo critério de continuidade, isso mostra que
é contínua em qualquer
do domínio (em todo ponto onde
está definida).
Passo 5
E quanto a
? A função não está definida em
(o denominador anula), então não faz sentido falar em continuidade ali — continuidade só é definida em pontos do domínio. Portanto
não pertence ao conjunto de continuidade.
Passo 6
Resumo final (intuitivo):
é uma função racional simples (uma constante dividida por uma expressão linear). Essas funções são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. No nosso caso o único ponto proibido é
.