Determine o valor de L para que a função f dada seja contínua no ponto dado: f(x)=\left\{\begin{aligned} 4-x+x^{3}, & \text { se } x \leq 1, \\\\ 9-L x^{2}, & \text { se } x>1\end{aligned}\right. no ponto x=1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
A função f é definida por partes:
f(x)=4-x+x^{3} se x\leq1.
f(x)=9-Lx^{2} se x>1.
O ponto onde queremos a continuidade é x=1.
O que se pede: determinar o valor de L para que f seja contínua em x=1.
Passo 2
Relembrando a definição prática de continuidade num ponto (aula pequena e direta). Uma função f é contínua em x=1 se e somente se todas estas três quantidades existirem e forem iguais:
Isto significa: o limite vindo da esquerda deve ser igual ao limite vindo da direita e ambos devem coincidir com o valor da função em 1. Na prática para uma função por partes como esta, basta garantir que o limite à direita (que depende de L) seja igual ao valor já dado pela peça para x\le1.
Passo 3
Calcular o valor da função em x=1. Como a definição para x\le1 vale no próprio x=1, temos:
f(1)=4-1+1^{3}.
Agora avalio item a item: 1^{3}=1, então
f(1)=4-1+1.
Passo 4
Continuando a conta do passo anterior:
f(1)=4-1+1=4.
Portanto o valor da função no ponto é 4. (Pequena lembrança: polinômios são contínuos, então ao avaliar em x=1 só se substitui.)
Passo 5
Calcular o limite vindo da esquerda \lim_{x\to1^-} f(x). Para x<1 a função é o polinômio 4-x+x^{3}, que é contínuo, então o limite pela esquerda é igual ao valor do polinômio em x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=4-1+1^{3}=4.
Passo 6
Calcular o limite vindo da direita \lim_{x\to1^+} f(x). Para x>1 a função é 9-Lx^{2}, também um polinômio em x (parametrizado por L), logo o limite pela direita é dado substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=9-L\cdot1^{2}=9-L.
Passo 7
Impor a condição de continuidade: os limites laterais e o valor da função devem ser iguais. Já temos da esquerda e do valor da função o número 4. Portanto exigimos