Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
Passo 1
A questão pede para achar o conjunto de pontos onde a função definida por
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de função de duas variáveis e cálculo de limite em multivariável.
Passo 2
Para o denominador é positivo (zero só em ), então é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser combinação de funções contínuas, é contínua em todo ponto .
Passo 3
Para tratar , vamos calcular e comparar com . É útil usar coordenadas polares:
Então
Como e , temos
Portanto .
Passo 4
Como o limite em (0,0) vale 0neq f(0,0)=1, a função não é contínua na origem. Concluímos que o conjunto de continuidade é todo R^2 menos o ponto (0,0).
Resposta
A função é contínua em todas as pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0).