Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
f(x, y)= x^2 y^32 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

A questão pede para achar o conjunto de pontos onde a função f: R^2to R definida por
f(x,y)=x^2y^32x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 1,&(x,y)=(0,0)
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de função de duas variáveis e cálculo de limite em multivariável.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) o denominador 2x^2+y^2 é positivo (zero só em (0,0)), então f(x,y) é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser combinação de funções contínuas, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para tratar (0,0), vamos calcular f(0,0)=1 e comparar com x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0 . É útil usar coordenadas polares:
f(r,theta)=(rcostheta)^2,(rsintheta)^32(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^5cos^2thetasin^3thetar^2l(2cos^2theta+sin^2thetar) =r^3cos^2thetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta
Então
2cos^2theta+sin^2theta>=1
Como |f(r,theta)|<= r^3to0quando rto0 e , temos
Portanto .

Passo 4

Como o limite em (0,0) vale 0neq f(0,0)=1, a função não é contínua na origem. Concluímos que o conjunto de continuidade é todo R^2 menos o ponto (0,0).

Resposta

A função é contínua em todas as pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0).

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