Seja a equação diferencial , e suponha que seja uma de suas soluções.
Mostre que para todo , ou seja, e são LI. Este resultado mostra que é solução geral da EDO.
Passo 1
A questão trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
e pede para mostrar que o determinante de Wronski () de duas soluções independentes é sempre uma exponencial de , logo nunca zera e garante independência linear das soluções.
Passo 2
Definimos o Wronskiano das duas soluções e por
Vamos calcular sua derivada e usar a própria equação diferencial.
Passo 3
Derivando e usando a regra do produto, obtemos
Como (pela equação original), substituindo,
Portanto satisfaz a equação de primeira ordem
Passo 4
Essa é uma EDO linear de primeira ordem em . Podemos escrever
e integrar:
Logo,
W(x) = e^C ,e^-integral p(x),dx
Absorvendo a constante de integração em e^C, vemos que W(x) é sempre uma exponencial (nunca zera).
Passo 5
Como W[y1,y2](x)neq 0 para todo x, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é