Seja a equação diferencial y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0, e suponha que y(x) seja uma de suas soluções.
Mostre que W[y1, y2](x)=e^integral p(x) d x neq 0 para todo x in R, ou seja, y1(x) e y2(x) são LI. Este resultado mostra que y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x) é solução geral da EDO.

Passo 1

A questão trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
e pede para mostrar que o determinante de Wronski ( W[y1,y2](x)) de duas soluções independentes é sempre uma exponencial de integral p(x),dx, logo nunca zera e garante independência linear das soluções.

Passo 2

Definimos o Wronskiano das duas soluções y1(x) e y2(x) por
W(x) = W[y1,y2](x) = y1(x),y2'(x) - y2(x),y1'(x)
Vamos calcular sua derivada e usar a própria equação diferencial.

Passo 3

Derivando W(x) e usando a regra do produto, obtemos
W'(x) = y1'(x)y2'(x) + y1(x)y2''(x) - y2'(x)y1'(x) - y2(x)y1''(x) = y1(x)y2''(x) - y2(x)y1''(x)
Como yi'' = -p(x)yi' - q(x)yi (pela equação original), substituindo,
W'(x) = -p(x)l(y1(x)y2'(x) - y2(x)y1'(x)r) = -p(x),W(x)
Portanto W(x) satisfaz a equação de primeira ordem
W'(x) + p(x),W(x) = 0

Passo 4

Essa é uma EDO linear de primeira ordem em W. Podemos escrever
W'(x)W(x) = -p(x)
e integrar:
lnl|W(x)r| = -integral p(x),dx + C
Logo,
W(x) = e^C ,e^-integral p(x),dx
Absorvendo a constante de integração em e^C, vemos que W(x) é sempre uma exponencial (nunca zera).

Passo 5

Como W[y1,y2](x)neq 0 para todo x, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é
y(x) = c1,y1(x) + c2,y2(x)

Resposta

Wy_1,y_2 = e^{\int p(x),dx} \neq 0

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