Sejam os vetores \vec{u}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} e \vec{v}=-\hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}. Determine a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=5\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k} e \vec{v}=-\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k} e pede a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}. O conteúdo necessário é a definição de projeção de um vetor \vec{v} sobre outro \vec{u}:
\mathrm{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u}.

Passo 2

Vamos primeiro escrever as componentes: \vec{u}=(5,3,-1) e \vec{v}=(-1,5,-3). O produto escalar é
\vec{v}\cdot\vec{u} =(-1)\cdot5 + 5\cdot3 +(-3)\cdot(-1) =-5 +15 +3 =13.

Passo 3

Em seguida, calculamos \vec{u}\cdot\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u} =5^2 +3^2 +(-1)^2 =25 +9 +1 =35.

Passo 4

O coeficiente escalar na projeção é
\alpha = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} =\frac{13}{35}.

Passo 5

Finalmente, a projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é
\mathrm{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) =\alpha\,\vec{u} =\frac{13}{35}(5,3,-1) =\bigl(\tfrac{65}{35},\,\tfrac{39}{35},\,-\tfrac{13}{35}\bigr).

Resposta

A projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é
\mathrm{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) =\Bigl(\tfrac{65}{35},\,\tfrac{39}{35},\,-\tfrac{13}{35}\Bigr).

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