Encontre um vetor ortogonal aos vetores \vec{u}=2,0 \hat{i}-1,0 \hat{k} e \vec{v}=1,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal a dois vetores em \mathbb{R}^3. Para vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3, podemos usar o produto vetorial, pois \vec{u}\times\vec{v} é sempre ortogonal a ambos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos os vetores em forma de componentes. \vec{u}=2,0\,\hat{i}-1,0\,\hat{k} corresponde a
\vec{u}=(2,0,-1)
e \vec{v}=1,0\,\hat{i}+3,0\,\hat{j} corresponde a
\vec{v}=(1,3,0).

Passo 3

Aplicamos a fórmula do produto vetorial pelo determinante:
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} =\hat{i}(0\cdot0-(-1)\cdot3)\;-\;\hat{j}(2\cdot0-(-1)\cdot1)\;+\;\hat{k}(2\cdot3-0\cdot1).
Calculando cada termo:
\hat{i}:0+3=3,\qquad \hat{j}:0+1=1,\qquad \hat{k}:6-0=6.
Como há um sinal menos no termo de \hat{j}, o resultado é
\vec{u}\times\vec{v}=(3,\,-1,\,6).

Passo 4

Para verificar, bastaria conferir que
(3,-1,6)\cdot(2,0,-1)=3\cdot2+(-1)\cdot0+6\cdot(-1)=6-6=0
e
(3,-1,6)\cdot(1,3,0)=3\cdot1+(-1)\cdot3+6\cdot0=3-3=0.
Logo (3,-1,6) é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.

Resposta

Um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} é
(3,-1,6).

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