e pede o conjunto de pontos onde f é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis: para (x,y)neq(0,0) usaremos que quociente de funções polinomiais (com denominador não nulo) é C^infty, e em (0,0) usaremos a definição via limite do resto ser o(raizx^2+y^2).
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0), então o denominador x^2+y^2 é estritamente positivo. Logo
f(x,y)=x^2yx^2+y^2
é quociente de funções polinomiais sem zeros no denominador e, portanto, é C^infty em todo ponto (x,y)neq(0,0). Assim, f é diferenciável em todos os pontos fora da origem.
Passo 3
Verifiquemos a diferenciabilidade de f em (0,0). Primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0):
que depende de theta e não tende a zero quando rto0. Por exemplo, em theta=pi/4 vale cos^2(pi/4)sin(pi/4)=tfracraiz24neq0. Assim, o erro não é o(raizx^2+y^2) e f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).