Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x^2 yx^2 y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de pontos onde f é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis: para (x,y)neq(0,0) usaremos que quociente de funções polinomiais (com denominador não nulo) é C^infty, e em (0,0) usaremos a definição via limite do resto ser o(raizx^2+y^2).

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então o denominador x^2+y^2 é estritamente positivo. Logo
f(x,y)=x^2yx^2+y^2
é quociente de funções polinomiais sem zeros no denominador e, portanto, é C^infty em todo ponto (x,y)neq(0,0). Assim, f é diferenciável em todos os pontos fora da origem.

Passo 3

Verifiquemos a diferenciabilidade de f em (0,0). Primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos
f(h,k)=f(0,0)+fx(0,0),h+fy(0,0),k+o!l(raizh^2+k^2r) =o!l(raizh^2+k^2r)

Passo 4

Para estudar o termo de erro, usemos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) =r^2cos^2theta,(rsintheta)r^2 =rcos^2thetasintheta
Então o resto dividido pela norma é
f(x,y)-0raizx^2+y^2 =rcos^2thetasinthetar =cos^2thetasintheta,
que depende de theta e não tende a zero quando rto0. Por exemplo, em theta=pi/4 vale cos^2(pi/4)sin(pi/4)=tfracraiz24neq0. Assim, o erro não é o(raizx^2+y^2) e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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