Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de valor inicial
onde
O conteúdo é resolução de EDO linear com termo forçante descontínuo usando transformada de Laplace e teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Escrevemos
f(t) em termos da função degrau unitário
u(t) :
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em
Como
y(0)=y'(0)=0 , temos
E
onde
tau=t-1 . Como
segue
Logo
então
Passo 4
Separamos
com
Passo 5
Calculamos
L^-1Y1(s) . Fazendo frações parciais:
Logo
Passo 6
Agora
L^-1Y2(s) . Note
já obtido, e
Portanto
Pelo teorema do deslocamento,
Passo 7
Reunindo tudo,
Isto é,
para0<= t<1 temos
u(t-1)=0 e
para
Para
t>=1 temos
u(t-1)=1 e
Repare que
(t-1)+1=t , então para
t>=1
Resposta
Para a solução de valor inicial,