Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+y=lt, 0 <= t<1, y(0)=y^prime(0)=0 0, t >= 1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de valor inicial
y'' + y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= t, & 0<= t<1, 0, & t>=1
O conteúdo é resolução de EDO linear com termo forçante descontínuo usando transformada de Laplace e teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos da função degrau unitário u(t):
f(t)=tl[u(t)-u(t-1)r]

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em
y''+y=f(t)
Como y(0)=y'(0)=0, temos
Ly''+y=(s^2+1)Y(s)
E
Lf(t) =Lt-Lt,u(t-1) =1s^2 -;e^-s,L,tau+1,
onde tau=t-1. Como
Ltautau=1s^2, Ltau1=1s,
segue
Lf(t) =1s^2 -e^-sl(1s^2+1sr)
Logo
(s^2+1)Y(s) =1s^2 -e^-sl(1s^2+1sr),
então
Y(s) =1s^2(s^2+1) ;-;e^-s,1s^2+1ss^2+1

Passo 4

Separamos
Y(s)=Y1(s)-e^-sY2(s),
com
Y1(s)=1s^2(s^2+1), Y2(s)=1s^2+1ss^2+1 =1s^2(s^2+1)+1s(s^2+1)

Passo 5

Calculamos L^-1Y1(s). Fazendo frações parciais:
1s^2(s^2+1) =1s^2-1s^2+1
Logo
y1(t) =L^-1Y1(s) =t-sin t

Passo 6

Agora L^-1Y2(s). Note
1s^2(s^2+1) longrightarrow t-sin t
já obtido, e
1s(s^2+1) =1s-ss^2+1 ;longrightarrow; 1-cos t
Portanto
g(t)=L^-1Y2(s) =(t-sin t)+(1-cos t)
Pelo teorema do deslocamento,
L^-1e^-sY2(s) =u(t-1),g(t-1)

Passo 7

Reunindo tudo,
y(t)=y1(t)-u(t-1),g(t-1)
Isto é,
para 0<= t<1 temos u(t-1)=0 e
y(t)=t-sin t
Para t>=1 temos u(t-1)=1 e
y(t) =(t-sin t) -l[(t-1)-sin(t-1)+1-cos(t-1)r]
Repare que (t-1)+1=t, então para t>=1
y(t) =t-sin t -l(t-sin(t-1)-cos(t-1)r) =sin(t-1)+cos(t-1)-sin t

Resposta

Para a solução de valor inicial,
y(t)= t-sin t, & 0<= t<1, sin(t-1)+cos(t-1)-sin t, & t>=1

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