Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime-y=e^t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais
y'' - y = e^t, y(0)=1,;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada em ambos os lados, usar as condições iniciais para obter uma equação algébrica em Y(s)=Ly(t) e depois inverter para encontrar y(t).

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de cada termo, lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s), Le^t = 1s-1,
e substituindo y(0)=1 e y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s) - s - Y(s) = 1s-1

Passo 3

Reescrevendo a equação algébrica em Y(s):
(s^2 - 1)Y(s) - s = 1s-1 Longrightarrow Y(s) = s + dfrac1s-1s^2 - 1 = s^2 - s + 1(s-1)^2,(s+1)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
s^2 - s + 1(s-1)^2(s+1) = As-1 + B(s-1)^2 + Cs+1,
de onde, igualando coeficientes, chegamos a
A = tfrac14, B = tfrac12, C = tfrac34

Passo 5

Logo
Y(s) = 1/4s-1 + 1/2(s-1)^2 + 3/4s+1
Aplicando a transformada inversa em cada termo, usando
L^-11/(s-1)=e^t,
L^-11/(s-1)^2=t,e^t,
L^-11/(s+1)=e^-t, obtemos
y(t) = 14,e^t + 12,t,e^t + 34,e^-t

Resposta

y(t) = 14,e^t + 12,t,e^t + 34,e^-t

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