Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)=lly^4 xx^2+y^8, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar em quais pontos a função f(x, y) é diferenciável. A função é definida por partes:
f(x, y) = y^4 xx^2+y^8, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis e verificar onde essa função atende aos critérios para ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quando (x, y) neq (0,0). Nesses casos, a função é dada por y^4 xx^2+y^8.
Aqui, tanto o numerador y^4 x quanto o denominador x^2+y^8 são funções polinomiais, que são suaves e diferenciáveis em todo R^2 exceto onde o denominador pode ser zero.
No nosso caso, o denominador x^2+y^8 é sempre positivo, a não ser quando x = 0 e y = 0. Portanto, para todos os pontos (x, y) neq (0,0), a função f(x, y) é diferenciável.

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto (0,0).
Primeiro, para a função ser diferenciável em (0,0), ela precisa ser contínua nesse ponto. Vamos verificar a continuidade.
Calculamos o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0):
lim(x,y) to (0,0) y^4 xx^2+y^8
Vamos analisar esse limite ao longo de diferentes caminhos:
  • Caminho 1: y = 0, então f(x, 0) = 0.
  • Caminho 2: x = 0, então f(0, y) = 0.
  • Caminho 3: y = x^1/4, substituindo na função:
f(x, x^1/4) = (x^1/4)^4 xx^2 + (x^1/4)^8 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12
Nesse caminho, o limite é 12, que é diferente de 0.
Como o limite depende do caminho escolhido e não é único, a função não é contínua em (0,0). Se a função não é contínua nesse ponto, ela também não pode ser diferenciável aqui.

Resposta

A função f(x, y) é diferenciável em todos os pontos do plano R^2, exceto no ponto (0,0).

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