Seja
.
Verifique que a função
é diferenciável em
.
Verifique que a função
Passo 1
Beleza, vamos ver o que temos aqui! A gente precisa verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar como ela se comporta perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Então, temos
e
.
Passo 5
Com as derivadas parciais conhecidas, podemos construir a aproximação linear da função
perto do ponto
. A aproximação linear é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Para confirmar que
é diferenciável em
, precisamos mostrar que o erro entre
e a aproximação linear
fica “pequeno” quando
se aproxima de
. Matematicamente, isso significa verificar o limite:
Vamos calcular
:
Para valores de
e
próximos de zero, a expansão de Taylor de
é:
Então:
Dividindo pelo denominador:
À medida que
, o numerador
diminui mais rápido que o denominador
, fazendo com que o limite seja zero.
Resposta
Portanto, concluímos que a função
é diferenciável no ponto
.