Seja f(x, y)=e^x-y.
Verifique que a função f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que temos aqui! A gente precisa verificar se a função f(x, y) = e^x - y é diferenciável no ponto (0, 0). Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar como ela se comporta perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto (0, 0). Substituindo x = 0 e y = 0 na função:
f(0, 0) = e^0 - 0 = e^0 = 1
Então, f(0, 0) = 1 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial em relação a x:
fx(x, y) = partialpartial x e^x - y = e^x - y
  • Derivada parcial em relação a y:
fy(x, y) = partialpartial y e^x - y = -e^x - y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (0, 0):
  • fx(0, 0) = e^0 - 0 = e^0 = 1
  • fy(0, 0) = -e^0 - 0 = -e^0 = -1
Então, temos fx(0, 0) = 1 e fy(0, 0) = -1 .

Passo 5

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos construir a aproximação linear da função f perto do ponto (0, 0). A aproximação linear é dada por:
L(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0) cdot x + fy(0, 0) cdot y
Substituindo os valores que encontramos:
L(x, y) = 1 + 1 cdot x + (-1) cdot y = 1 + x - y

Passo 6

Para confirmar que f é diferenciável em (0, 0), precisamos mostrar que o erro entre f(x, y) e a aproximação linear L(x, y) fica “pequeno” quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Matematicamente, isso significa verificar o limite:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) - L(x, y)raizx^2 + y^2 = 0
Vamos calcular f(x, y) - L(x, y):
f(x, y) - L(x, y) = e^x - y - (1 + x - y)
Para valores de x e y próximos de zero, a expansão de Taylor de e^x - y é:
e^x - y = 1 + (x - y) + (x - y)^22 + dots
Então:
f(x, y) - L(x, y) approx (x - y)^22
Dividindo pelo denominador:
f(x, y) - L(x, y)raizx^2 + y^2 approx (x - y)^22raizx^2 + y^2 = (x - y)^22raizx^2 + y^2
À medida que (x, y) to (0, 0), o numerador (x - y)^2 diminui mais rápido que o denominador raizx^2 + y^2, fazendo com que o limite seja zero.

Resposta

Portanto, concluímos que a função f(x, y) = e^x - y é diferenciável no ponto (0, 0).

Exercícios relacionados