Use a regra da cadeia para achar d z / d t e d w / d t. z = x^2 * y + x * y^2, x = 3 * t, y = t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma função onde e . Queremos encontrar as derivadas de e em relação a usando a regra da cadeia. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar . A regra da cadeia é uma técnica que nos permite encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, para encontrar , precisamos considerar como muda em relação a e , e como e mudam em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Vamos substituir os valores que encontramos:
Primeiro, substitua e nas derivadas parciais:
Agora, substitua na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:
Quanto a , não temos a definição da função no enunciado, então não podemos calcular sua derivada.

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