Determine o conjunto dos pontos onde

Passo 1

A função
Queremos o conjunto de pontos em que e em .

Passo 2

Para xneq0 simplificamos a expressão:
f(x)=x^3|x|,sin!l(1|x|r)
Observando que tfracx^3|x|=x^2 tanto para x>0 quanto para x<0 (pois se x<0 então |x|=-x e sin(1/|x|)=sin(-1/x)=-sin(1/x)), concluímos
f(x)=x^2sin!l(1xr) (xneq0)

Passo 3

A função x^2sinl(tfrac1xr) é produto de funções contínuas em xneq0 (polinômio e seno), logo f é contínua para todo xneq0.

Passo 4

Em x=0, avaliamos
l|f(x)r| =l|x^2sin!l(tfrac1xr)r| <= x^2
Como limxto0x^2=0, segue limxto0f(x)=0=f(0). Portanto f também é contínua em 0.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é R.

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