Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário e encontre o valor de c \in[a, b]\), tal que \(f\text{(c)}=k\). Além disso faça um esboço do gráfico da função \(f\), mostrando a reta \(y=k\) e o valor de \(c\), para as funções dadas: \(g(x)= \begin{cases}4 x-x^{2}, & \text { se } 0 \leq x \leq 4 \\\ x^{2}+4 x, & \text { se }-4 \leq x<0\end{cases}
Onde [a, b]=\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] e k=2. Além disso, para [a, b]=\left[-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right] e k=3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)= \begin{cases} 4x - x^2, & 0 \le x \le 4,\\\ x^2 + 4x, & -4 \le x < 0, \end{cases}
queremos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em dois casos:
(a) [a,b]=\bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr], k=2;
(b) [a,b]=\bigl[-\tfrac32,-\tfrac12\bigr], k=3.
Para usar o TVI, precisamos de duas coisas:
  1. g contínua em [a,b].
  2. k entre g(a) e g(b), isto é, g(a)<k<g(b) ou g(b)<k<g(a).

Passo 2

Verificação de continuidade em [-4,4]:
– Em cada ramo g é polinomial, logo contínua.
– Em x=0 o ramo à esquerda dá
\lim_{x\to0^-}g(x) =\lim_{x\to0^-}(x^2+4x)=0
e o ramo à direita dá
\lim_{x\to0^+}g(x) =\lim_{x\to0^+}(4x - x^2)=0,
e g(0)=4\cdot0-0=0. Portanto não há descontinuidade em 0.
Conclusão: g é contínua em todo [-4,4], logo também nos subintervalos dados.

Passo 3

Caso (a): [a,b]=\bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr], usamos o ramo g(x)=4x - x^2.
Calculemos
g\bigl(\tfrac12\bigr) =4\cdot\tfrac12 - \bigl(\tfrac12\bigr)^2 =2 - \tfrac14 =1{,}75,
g\bigl(\tfrac32\bigr) =4\cdot\tfrac32 - \bigl(\tfrac32\bigr)^2 =6 - 2{,}25 =3{,}75.
Vemos que
1{,}75 = g\bigl(\tfrac12\bigr) < 2 < g\bigl(\tfrac32\bigr) = 3{,}75,
logo k=2 está entre g(a) e g(b). Pelo TVI existe c\in\bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr] tal que g\text{(c)}=2. Para achar c, resolvemos
4x - x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x + 2 = 0.
As raízes são
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt2}{2} = 2 \pm \sqrt2.
Destes, 2+\sqrt2\approx3{,}41 sai de \bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr] e
c = 2 - \sqrt2\approx0{,}586
pertence a \bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr].

Passo 4

Esboço para o caso (a):
– O ramo 4x - x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (2,4) e zeros em x=0 e x=4.
– A reta y=2 corta a parábola em x=2\pm\sqrt2; o ponto relevante no nosso intervalo é c=2-\sqrt2.

Passo 5

Caso (b): [a,b]=\bigl[-\tfrac32,-\tfrac12\bigr], usamos o ramo g(x)=x^2+4x.
Calculemos
g\bigl(-\tfrac32\bigr) =\bigl(-\tfrac32\bigr)^2 + 4\bigl(-\tfrac32\bigr) =2{,}25 - 6 =-3{,}75,
g\bigl(-\tfrac12\bigr) =\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + 4\bigl(-\tfrac12\bigr) =0{,}25 - 2 =-1{,}75.
Ambos são menores que 3, isto é,
g\bigl(-\tfrac32\bigr)=-3{,}75 < g\bigl(-\tfrac12\bigr)=-1{,}75 < 3.
Logo k=3 não está entre g(a) e g(b) e o TVI não garante existência de c. De fato, resolver
x^2 + 4x = 3
x=-2\pm\sqrt7, que ficam fora de \bigl[-\tfrac32,-\tfrac12\bigr].

Passo 6

Esboço para o caso (b):
– O ramo x^2+4x é uma parábola voltada para cima, com vértice em (-2,-4) e zeros em x=0 e x=-4.
– A reta y=3 está acima de todos os valores de g em \bigl[-\tfrac32,-\tfrac12\bigr], não há interseção nesse intervalo.

Resposta

Para [a,b]=\bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr] e k=2, existe c=2-\sqrt2.
Para [a,b]=\bigl[-\tfrac32,-\tfrac12\bigr] e k=3, não há c no intervalo que faça g\text{(c)}=3.

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