Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário e encontre o valor de c \in[a, b], tal que f\text{(c)}=k. Além disso faça um esboço do gráfico da função f, mostrando a reta y=k e o valor de c, para as funções dadas:
f(x)=\sqrt{8+2 x-x^{2}},[a, b]=\left[\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right] e k=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{8+2x - x^{2}}
no intervalo \bigl[a,b\bigr]=\bigl[\tfrac12,\tfrac72\bigr] e o valor k=2.
Queremos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que exige:
  1. f contínua em [a,b].
  2. k entre f(a) e f(b).
    Se essas condições valem, existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=k.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em \bigl[\tfrac12,\tfrac72\bigr].
O radicando 8+2x - x^{2} é um polinômio, contínuo em toda reta. A raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos. No intervalo dado, verifica-se que 8+2x-x^2\ge0 (pois a função define um arco semicírculo de raio 3 em [-2,4]), então f é contínua em \bigl[\tfrac12,\tfrac72\bigr].

Passo 3

Calculamos
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{8+2\cdot\tfrac12-(\tfrac12)^{2}} =\sqrt{8+1-0,25} =\sqrt{8,75}\approx2,958,
f\bigl(\tfrac72\bigr)=\sqrt{8+2\cdot\tfrac72-(\tfrac72)^{2}} =\sqrt{8+7-12,25} =\sqrt{2,75}\approx1,658.
Como
f\bigl(\tfrac12\bigr)\approx2,958>2>1,658\approx f\bigl(\tfrac72\bigr),
o valor k=2 está estritamente entre f(a) e f(b).

Passo 4

Resolvemos \sqrt{8+2x - x^{2}}=2. Elevando ao quadrado:
8+2x - x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+2x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x-4=0.
As raízes são
x=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{20}}{2} =1\pm\sqrt{5}.
Destes, 1-\sqrt{5}\approx-1,236 fica fora de \bigl[\tfrac12,\tfrac72\bigr], e
c=1+\sqrt{5}\approx3,236
é o único que pertence ao intervalo.

Passo 5

Esboço do gráfico de f em [0,4] (arco superior de circunferência de centro (1,0) e raio 3), restringido a [\,\tfrac12,\tfrac72\,], e da reta y=2. O ponto de interseção ocorre em x=c.
\begin{array}{l} \quad y\\\\ 3\;\,|\quad\displaystyle\bullet\;(0{,}5,\sqrt{8{,}75})\quad\bullet\;(3{,}5,\sqrt{2{,}75})\\\\ 2\;+\;-----------------------------*\;(c,2)--------------\text{reta }y=2\\\\ 1\;|\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\bullet\\\ \quad+0\quad1\quad\;c\;\;\;\;3\quad4\quad x \end{array}

Resposta

c=1+\sqrt{5}.

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