Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
f(x, y)=ccc x^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
Queremos achar o conjunto de pontos em R^2 onde f é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de função de duas variáveis, e vamos usar que quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não zera, e analisar o ponto (0,0) à parte.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos que x^3 e x^2+y^2 são funções polinomiais (logo contínuas) e x^2+y^2neq0. Portanto
x^3x^2+y^2
é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Resta analisar a continuidade em (0,0). Queremos verificar se
lim(x,y)to(0,0)x^3x^2+y^2=0
Em coordenadas polares escrevemos x=rcostheta, y=rsintheta, com r>=0. Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) =(rcostheta)^3r^2 =rcos^3theta
Como l|cos^3thetar|<=1, segue
l|f(x,y)r| =l|rcos^3thetar| <= r,
e como rto0 quando (x,y)to(0,0), temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)

Passo 4

Como a função coincide com seu limite em (0,0), f é contínua também nesse ponto.

Resposta

f é contínua em todo R^2.

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