Verifique se aproximação linear é verdadeira ou falsa em (0,0).
e^x cos (x y) approx x+1

Passo 1

A função em questão é f(x,y)=e^xcos(xy). O enunciado pede para verificar se a aproximação linear de f em (0,0) coincide com L(x,y)=1+x. Vamos usar aqui o polinômio de Taylor de primeira ordem em duas variáveis, que requer o valor de f e de suas derivadas parciais no ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f em (0,0):
f(0,0)=e^0cos(0cdot0)=1cdotcos0=1

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(e^xcos(xy)r)=e^xcos(xy)-y,e^xsin(xy),
fy(x,y)=partialpartial yl(e^xcos(xy)r)=-x,e^xsin(xy)
Avaliando em (0,0) temos
fx(0,0)=1-0=1,
fy(0,0)=0

Passo 4

Agora construímos a aproximação linear:
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y=1+1cdot x+0cdot y=1+x
Isso coincide exatamente com a aproximação dada.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados