Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
f(x)=\frac{\ln \left(4 x^{2}-16\right)}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\ln\bigl(4x^{2}-16\bigr)}{\sqrt{x^{2}-1}},
e pede o conjunto onde ela é contínua. Como f é razão de duas funções que são continuas nos seus domínios (o numerador \ln e o denominador \sqrt{\cdot}), devemos encontrar onde cada parte está definida e o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Analisando o denominador \sqrt{x^{2}-1}: para a raiz de índice par ser real e não nula temos
x^{2}-1>0
ou seja
x<-1\quad\text{ou}\quad x>1.

Passo 3

Analisando o numerador \ln\bigl(4x^{2}-16\bigr): para o logaritmo natural estar definido precisamos
4x^{2}-16>0
ou seja
x^{2}>4\quad\Longrightarrow\quad x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 4

O domínio de f é a interseção das duas condições acima:
\bigl(x<-1\text{ ou }x>1\bigr)\;\cap\;\bigl(x<-2\text{ ou }x>2\bigr) \;=\; x<-2\;\cup\;x>2.
Nesse conjunto o denominador é não nulo e o argumento do \ln é positivo, logo f está definida e é contínua.

Resposta

(-\infty,-2)\,\cup\,(2,\infty).

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