Faça um esboço do gráfico, determine se a função é contínua e no caso de possuir descontinuidades justifique se são removíveis ou essenciais para: H(x)=\left\{\begin{aligned} x-2, & \text { se } x>2 \\\\ 3, & \text { se } x=2 \\\\ 2-x, & \text { se }-2<x<2 \\\\ 1+x, & \text { se } x \leq-2\end{aligned}\right.
O objetivo é esboçar o gráfico, verificar continuidade em todo ponto e, nos pontos de descontinuidade, classificar se são removíveis ou essenciais. Para isso vamos usar o conceito de limite lateral e o valor da função em cada ponto.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, consideramos cada ramo da definição:
Para x\le -2, a função é a reta y=1+x. Em x=-2 temos H(-2)=1+(-2)=-1, ponto fechado (-2,-1).
Para -2<x<2, a função é a reta y=2-x. Nos extremos x=-2 e x=2 esses pontos não pertencem a esse ramo (círculos abertos em (-2,4) e em (2,0)).
Para x=2, temos um ponto isolado em (2,3).
Para x>2, a função é a reta y=x-2, com início em x=2 mas sem incluir (2,0) (círculo aberto) e cresce indefinidamente.
Como -1\neq 4, não há limite único em -2. Logo, H é descontinua em x=-2 e essa descontinuidade é essencial (ou de salto).
Passo 4
Analisando x=2:
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to2^-}H(x)=\lim_{x\to2^-}(2-x)=2-2=0.
O limite pela direita é
\lim_{x\to2^+}H(x)=\lim_{x\to2^+}(x-2)=2-2=0.
Ambos os limites existem e valem 0, mas H(2)=3\neq0. Isso caracteriza uma descontinuidade removível em x=2, pois bastaria redefinir H(2)=0 para restaurar a continuidade.
Passo 5
Em qualquer outro ponto x<-2, em -2<x<2 (exceto 2) ou em x>2, a função coincide com uma reta (polinômio de grau 1) em domínio aberto ou semiaberto, portanto é contínua nesses intervalos.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos, exceto em x=-2 (descontinuidade essencial ou de salto) e em x=2 (descontinuidade removível).