Faça um esboço do gráfico, determine se a função é contínua e no caso de possuir descontinuidades justifique se são removíveis ou essenciais para:
H(x)= \begin{cases}3 x-4, & \text { se } x>3 \\\\ 5-3 x, & \text { se }-1 \leq x \leq 3 \\\ x+9, & \text { se }-3<x<-1 \\\\ 3-x, & \text { se }-5<x \leq-3 \\\ x+8, & \text { se } x \leq-5\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
H(x)= \begin{cases} x+8, & x\le -5,\\\\ 3 - x, & -5 < x \le -3,\\\ x+9, & -3 < x < -1,\\\\ 5 - 3x, & -1 \le x \le 3,\\\\ 3x - 4, & x > 3. \end{cases}
Vamos precisar:
  1. Esboçar cada segmento linear marcando pontos-chave e círculos abertos/fechados nas fronteiras.
  2. Verificar continuidade nos pontos de troca de definição x=-5, x=-3, x=-1 e x=3, comparando limites laterais e valor da função.

Passo 2

Esboço do gráfico (não em escala):
  • Trecho x\le -5: reta de coeficiente angular 1 (função x+8). Em x=-5 temos ponto fechado (-5,3). Vai se estender para a esquerda com inclinação 1.
  • Trecho -5<x\le -3: reta de coeficiente angular -1 (função 3-x). Em (-5,8) círculo aberto e em (-3,6) círculo fechado.
  • Trecho -3<x<-1: reta de coeficiente angular 1 (função x+9). Em (-3,6) aberto e em (-1,8) aberto.
  • Trecho -1\le x\le 3: reta de coeficiente angular -3 (função 5-3x). Em (-1,8) fechado e em (3,-4) fechado.
  • Trecho x>3: reta de coeficiente angular 3 (função 3x-4). Em (3,5) círculo aberto e continua para a direita.

Passo 3

Verificação em x=-5:
\lim_{x\to -5^-}H(x)=(-5)+8=3,\quad H(-5)=3,
\lim_{x\to -5^+}H(x)=3-(-5)=8.
Como \lim_{x\to -5^-}=3\neq8=\lim_{x\to -5^+), há salto. É descontinuidade essencial em x=-5.

Passo 4

Verificação em x=-3:
\lim_{x\to -3^-}H(x)=3-(-3)=6,\quad H(-3)=3-(-3)=6,
\lim_{x\to -3^+}H(x)=(-3)+9=6.
Todos os valores coincidem em 6. Logo é contínua em x=-3.

Passo 5

Verificação em x=-1:
\lim_{x\to -1^-}H(x)=(-1)+9=8,\quad H(-1)=5-3(-1)=8,
\lim_{x\to -1^+}H(x)=5-3(-1)=8.
Como todos são 8, é contínua em x=-1.

Passo 6

Verificação em x=3:
\lim_{x\to 3^-}H(x)=5-3\cdot3=5-9=-4,\quad H(3)=5-9=-4,
\lim_{x\to 3^+}H(x)=3\cdot3-4=9-4=5.
Aqui \lim_{x\to3^-}=-4\neq5=\lim_{x\to3^+}. Há salto, descontinuidade essencial em x=3.

Resposta

O esboço apresentado no Passo 2 mostra cinco trechos lineares. A função é descontínua apenas em x=-5 e em x=3, com descontinuidades do tipo salto (essenciais). Nos pontos x=-3 e x=-1 a função é contínua.

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