Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
g(x)=\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{\sqrt{|x|-2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
g(x) = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{\sqrt{\lvert x\rvert - 2}}
é contínua. O conteúdo envolve encontrar o domínio da função (onde as raízes estão definidas e o denominador não é zero) e, em seguida, usar que composições e quocientes de funções contínuas são contínuos quando bem definidos.

Passo 2

Para que g(x) esteja definida, precisamos de duas condições:
  1. O radicando do numerador é não negativo: 16 - x^{2} \ge 0o que dá -4 \le x \le 4.
  2. O radicando do denominador é estritamente positivo (para não anular o denominador): \lvert x\rvert - 2 > 0o que equivale a \lvert x\rvert > 2 \quad\Longrightarrow\quad x < -2 \;\text{ou}\; x > 2.
Fazendo a interseção dessas condições,
x \in [-4,4] \;\cap\; \bigl((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\bigr) \;=\; [-4,-2)\;\cup\;(2,4].

Passo 3

Nos pontos do domínio \,[-4,-2)\cup(2,4], temos:
  • \sqrt{16 - x^{2}} é contínua porque é composição de polinômios e raiz quadrada em região onde o radicando é não negativo.
  • \sqrt{\lvert x\rvert - 2} é contínua porque \lvert x\rvert é contínua e o radicando é estritamente positivo.
  • O denominador nunca se anula no domínio.
    Logo, o quociente é contínuo em todo o domínio encontrado.

Passo 4

Verificamos agora os pontos de borda que pertencem ao domínio:
  • Em x=-4, g(-4)=\frac{\sqrt{16-(-4)^{2}}}{\sqrt{\lvert -4\rvert -2}} =\frac{0}{\sqrt{4-2}}=0,e \lim_{x\to(-4)^{+}}g(x)=0. Portanto g é contínua em -4.
  • Em x=4, g(4)=\frac{\sqrt{16-4^{2}}}{\sqrt{\lvert 4\rvert -2}} =\frac{0}{\sqrt{4-2}}=0,e \lim_{x\to4^{-}}g(x)=0. Portanto g é contínua em 4.

Resposta

O conjunto de pontos onde g é contínua é
\boxed{[-4,-2)\;\cup\;(2,4]}.

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