Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
g(x)=\frac{\sqrt{|x|-4}}{\sqrt{x^{2}+x-42}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos onde a função
g(x) = \frac{\sqrt{\lvert x\rvert - 4}}{\sqrt{x^{2} + x - 42}}
é contínua. Aqui precisamos determinar primeiro o domínio de g, pois a função raiz quadrada exige domínio apropriado e a divisão não pode ter denominador zero. Depois, falar que sobre o domínio a função é contínua por ser combinação de funções contínuas.

Passo 2

Obtemos a condição para o numerador estar bem definido:
\sqrt{\lvert x\rvert - 4} pede
\lvert x\rvert - 4 \ge 0
Isto é equivalente a
\lvert x\rvert \ge 4\quad\Longrightarrow\quad x \le -4 \;\text{ou}\; x \ge 4.

Passo 3

Obtemos a condição para o denominador ser real e não nulo:
\sqrt{x^{2}+x-42} pede
x^{2} + x - 42 > 0
Fatorando,
x^{2} + x - 42 = (x+7)(x-6),
e a inequação (x+7)(x-6)>0 tem solução
x < -7\quad\text{ou}\quad x > 6.

Passo 4

Fazendo a interseção das duas condições, temos
\bigl(x \le -4\;\text{ou}\;x \ge 4\bigr) \;\cap\; \bigl(x < -7\;\text{ou}\;x > 6\bigr).
– Para x \le -4 e \,x< -7 sobra x< -7.
– Para x \ge 4 e \,x>6 sobra x>6.
Logo o domínio de g é
(-\infty,-7)\,\cup\,(6,\infty).

Passo 5

Como em cada intervalo (-\infty,-7) e (6,\infty) tanto \sqrt{\lvert x\rvert-4} quanto \sqrt{x^{2}+x-42} são contínuas e o denominador não zera, a quociente também é contínuo em todo o domínio.

Resposta

A função g é contínua em
(-\infty,-7)\cup(6,\infty).

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