Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos onde a função
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}
é contínua. Estamos no conteúdo de continuidade de funções reais e vamos usar a ideia de domínio (onde a função está definida) e o fato de que composição de funções contínuas é contínua no domínio.

Passo 2

Para que g(x) esteja definida, precisamos de dois requisitos:
  1. \sqrt{x} estar definido: isso exige x\ge 0.
  2. O denominador não ser zero: \sqrt{x}-2\neq 0 implica \sqrt{x}\neq 2, ou seja, x\neq 4.
Logo, o domínio de g é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}\setminus\{4\} =\bigl[0,\infty\bigr)\setminus\{4\}.

Passo 3

Sabemos que x\mapsto\sqrt{x} é contínua em [0,\infty), que a subtração de 2 e a função recíproca y\mapsto 1/y são contínuas onde o denominador é não nulo. Como g é composta dessas funções e está definida exatamente em [0,\infty) sem o ponto 4, concluímos que g é contínua em todo ponto do seu domínio.

Resposta

O conjunto de continuidade de g é
\bigl[0,4\bigr)\cup\bigl(4,\infty\bigr).

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