Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
g(x)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos onde
g(x)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}-1}}
é contínua.
Conteúdo: análise de domínio de funções envolvendo raízes e quociente, e aplicação de que raízes quadradas e quocientes de funções contínuas (denominador não nulo) são contínuos em seu domínio.

Passo 2

Identificamos as condições para que g(x) esteja definida:
  1. O radicando do numerador deve ser não-negativo:
4 - x^{2} \ge 0.
  1. O radicando do denominador deve ser estritamente positivo (para não anular o denominador):
x^{2} - 1 > 0.

Passo 3

Resolvemos cada desigualdade:
  1. 4 - x^{2} \ge 0 implica
-2 \le x \le 2.
  1. x^{2} - 1 > 0 implica
x < -1\quad\text{ou}\quad x > 1.

Passo 4

A interseção das duas condições dá o domínio de g:
[-2,2]\;\cap\;\bigl((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\bigr) =\;[-2,-1)\;\cup\;(1,2].

Passo 5

Como \sqrt{\,\cdot\,} é contínua onde seu argumento é não-negativo, e o quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula, concluímos que g é contínua em todo ponto do seu domínio. Nos extremos x=-2 e x=2, g(x)=0 e o limite lateral coincide com o valor da função, garantindo continuidade nesses pontos.

Resposta

\displaystyle [-2,-1)\;\cup\;(1,2]

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