Exercício 10: Seja
Calcule
, onde
é a curva dada pela interseção das superfícies
e
com um sentido de percurso tal que, quando projetado no plano
produz um percurso no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede
, onde
e
é a curva de interseção de
com o cilindro
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja anti-horária. Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
Calculemos
. Chamando
,
e
, temos
Como
,
,
e
, os dois primeiros componentes são zero. O terceiro é
Logo
Passo 3
Escolhemos como superfície
o pedaço da parábola
sobre a região plana
Para Stokes, com a normal apontando para cima (para concordar com a orientação anti-horária da projeção), vale
Passo 4
Para a superfície como gráfico
, temos
onde
é o elemento de área em
.
Passo 5
Então o integrando é
Portanto
Passo 6
A região
é um disco de raio
centrado em
. Como
é simétrico em
, tem
Além disso
. Logo