Exercício 10: Seja

\vec{F}(x, y, z)=2 y \overrightarrow{\mathbf{i}}+\frac{x^{2}}{2} \overrightarrow{\mathbf{j}}+\sqrt{1+z^{8}} \overrightarrow{\mathbf{k}} .
Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva dada pela interseção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e x^{2}+(y-1)^{2}=1 com um sentido de percurso tal que, quando projetado no plano z=0 produz um percurso no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r, onde
\vec F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{i} + \tfrac{x^2}{2}\,\mathbf{j} + \sqrt{1+z^8}\,\mathbf{k},
e C é a curva de interseção de z=x^2+y^2 com o cilindro x^2+(y-1)^2=1, orientada de modo que sua projeção no plano z=0 seja anti-horária. Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional de \vec F.

Passo 2

Calculemos \nabla\times\vec F. Chamando P=2y, Q=\tfrac{x^2}{2} e R=\sqrt{1+z^8}, temos
\nabla\times\vec F = \bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\bigr).
Como R_y=0, Q_z=0, P_z=0 e R_x=0, os dois primeiros componentes são zero. O terceiro é
Q_x - P_y = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial y}(2y) = x - 2.
Logo
\nabla\times\vec F = (0,\,0,\,x-2).

Passo 3

Escolhemos como superfície S o pedaço da parábola z=f(x,y)=x^2+y^2 sobre a região plana
D=\{(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le1\}.
Para Stokes, com a normal apontando para cima (para concordar com a orientação anti-horária da projeção), vale
\oint_C\vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S.

Passo 4

Para a superfície como gráfico z=f(x,y), temos
d\vec S = (-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA = (-2x,\,-2y,\,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área em xy.

Passo 5

Então o integrando é
(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S = (0,0,x-2)\cdot(-2x,-2y,1)\,dA = (x-2)\,dA.
Portanto
\oint_C\vec F\cdot d\vec r = \iint_{D}(x-2)\,dA = \iint_{D}x\,dA \;-\; 2\iint_{D}dA.

Passo 6

A região D é um disco de raio 1 centrado em (0,1). Como D é simétrico em x, tem
\iint_{D}x\,dA = 0.
Além disso \displaystyle \iint_{D}dA=\pi. Logo
\oint_C\vec F\cdot d\vec r = 0 \;-\;2\pi = -2\pi.

Resposta

\boxed{-2\pi}

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