Exercício 6: Seja C a curva z=2 x^{2}, com 0 \leq x \leq 2, contida no plano x z. Seja S a superfície obtida girando C em torno do eixo z.
a) Parametrize S.
b) Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado fala de uma curva C no plano xz dada por z=2x^2 para 0\le x\le2, e a superfície S obtida por girar C em torno do eixo z. O conteúdo aqui é superfície de revolução:
  1. Parametrização de S em termos de um parâmetro ao longo de C e do ângulo de rotação.
  2. Cálculo da área via fórmula
\text{Área}(S)=\iint_D \bigl\lvert \mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr\rvert\,du\,dv,Á
onde \mathbf r(u,v) é a parametrização e D é sua região de parâmetros.

Passo 2

Parametrizamos S usando u=x\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi]. Ao girar (x,0,2x^2) em torno de z obtemos
\mathbf r(u,\theta) = \bigl(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;2u^2\bigr),
com 0\le u\le2, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais e o produto vetorial:
\mathbf r_u = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;4u), \quad \mathbf r_\theta = (-u\sin\theta,\;u\cos\theta,\;0).
O módulo do produto vetorial dá o elemento de área:
\bigl\lvert \mathbf r_u\times\mathbf r_\theta\bigr\rvert = u\,\sqrt{1+16u^2}.

Passo 4

A área de S é
\text{Área}(S) =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{u=0}^{2}u\sqrt{1+16u^2}\;du\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}u\sqrt{1+16u^2}\;du.Á
Fazendo t=1+16u^2, dt=32u\,du, obtemos
\int_{0}^{2}u\sqrt{1+16u^2}\;du =\frac1{32}\int_{t=1}^{65}t^{1/2}\,dt =\frac{1}{48}\Bigl[(1+16u^2)^{3/2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{48}\bigl(65^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Multiplicando por 2\pi, concluímos
\text{Área}(S) =2\pi\cdot\frac{1}{48}\bigl(65^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi}{24}\bigl(65^{3/2}-1\bigr).Á

Resposta

a) \mathbf r(u,\theta)=(u\cos\theta,u\sin\theta,2u^2), com 0\le u\le2, 0\le\theta\le2\pi.
b) \displaystyle \text{Área}(S)=\frac{\pi}{24}\bigl(65^{3/2}-1\bigr)Á.

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