Faça um esboço do gráfico, determine se a função é contínua e no caso de possuir descontinuidades justifique se são removíveis ou essenciais para:
G(x)=\left\{\begin{aligned}|x-2|, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { se } x=0 \\\ |x+2|, & \text { se } x<0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
G(x)= \begin{cases} |x-2|, & \text{se }x>0,\\\\ 0, & \text{se }x=0,\\\ |x+2|, & \text{se }x<0, \end{cases}
e pede (1) um esboço do gráfico, (2) verificar a continuidade em todo ponto e (3) classificar eventuais descontinuidades. Para isso vamos estudar cada ramo, os limites laterais em x=0 e comparar com o valor G(0).

Passo 2

Esboço do gráfico por ramo:
  • Para x<0, temos G(x)=|x+2|, que é um “V” com vértice em (-2,0). Quando x\to0^-,
G(x)=|0+2|=2,
logo há um ponto aberto em (0,2) nesse ramo.
  • Em x=0, a função vale G(0)=0, ou seja, um ponto cheio em (0,0).
  • Para x>0, temos G(x)=|x-2|, que é um “V” com vértice em (2,0). Quando x\to0^+,
G(x)=|0-2|=2,
portanto também há um ponto aberto em (0,2) desse lado.
Em resumo, o gráfico são dois Vs deslocados (um centrado em -2, outro em 2), com um ponto fechado em (0,0) e buracos em (0,2).

Passo 3

Continuidade para x<0 e para x>0:
Cada ramo é uma função valor absoluto (transladação de |x|), e sabemos que |x| é contínua em toda reta. Logo
G(x)\text{ é contínua em }(-\infty,0)\quad\text{e em }(0,\infty).éí

Passo 4

Continuidade em x=0:
Calculemos os limites laterais:
\lim_{x\to0^-}G(x)=2, \qquad \lim_{x\to0^+}G(x)=2.
Como ambos existem e são iguais, \displaystyle\lim_{x\to0}G(x)=2. Mas G(0)=0\neq2. Portanto há descontinuidade em x=0. Como o limite existe, trata-se de uma descontinuidade removível (bastaria definir G(0)=2 para eliminar a quebra).

Resposta

A função é contínua para todo x\neq0 e possui em x=0 uma descontinuidade removível.

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