Faça um esboço do gráfico, determine se a função é contínua e no caso de possuir descontinuidades justifique se são removíveis ou essenciais para:
F(x)=\left\{\begin{aligned} 2 x-7, & \text { se } x>6 \\\ x-5, & \text { se } 1<x \leq 6 \\\\ 1, & \text { se } x=1 \\\\ -2 x-2, & \text { se }-2<x<1 \\\\ -1, & \text { se } x=-2 \\\\ 1+x, & \text { se } x<-2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(x)= \begin{cases} 2x-7, & x>6,\\\ x-5, & 1<x\le6,\\\\ 1, & x=1,\\\\ -2x-2, & -2<x<1,\\\\ -1, & x=-2,\\\\ 1+x, & x<-2, \end{cases}
e pede o esboço do gráfico e o estudo de continuidade. Vamos usar que cada ramo é uma reta (logo contínua no seu intervalo aberto) e verificar limites laterais e valor em x=-2,1,6.

Passo 2

Descrevendo os ramos e seus pontos abertos/fechados:
  • Para x< -2, reta y=1+x com intervalo aberto em x=-2.
  • Em x=-2, ponto isolado F(-2)=-1.
  • Para -2<x<1, reta y=-2x-2 com aberturas em -2 e 1.
  • Em x=1, ponto isolado F(1)=1.
  • Para 1<x\le6, reta y=x-5 aberta em 1 e fechada em 6.
  • Para x>6, reta y=2x-7 com abertura em 6.
    O esboço consiste em ligar cada segmento de reta nos intervalos indicados, marcando círculos abertos e fechados conforme a definição.

Passo 3

Os únicos candidatos a descontinuidade são os pontos de troca de ramo: x=-2, x=1 e x=6. Em qualquer outro x, F coincide com uma reta num intervalo aberto, logo é contínua.

Passo 4

No ponto x=-2:
\lim_{x\to-2^-}F(x)=\lim_{x\to-2^-}(1+x)=-1,
\lim_{x\to-2^+}F(x)=\lim_{x\to-2^+}(-2x-2)=2\,.
Como \lim_{x\to-2^-}F\neq\lim_{x\to-2^+}F, o limite não existe e a descontinuidade em x=-2 é essencial (salto).

Passo 5

No ponto x=1:
\lim_{x\to1^-}F(x)=\lim_{x\to1^-}(-2x-2)=-4,
\lim_{x\to1^+}F(x)=\lim_{x\to1^+}(x-5)=-4,
logo \lim_{x\to1}F(x)=-4. Mas F(1)=1\neq -4. O limite existe mas difere do valor, caracterizando descontinuidade removível em x=1.

Passo 6

No ponto x=6:
\lim_{x\to6^-}F(x)=\lim_{x\to6^-}(x-5)=1,
\lim_{x\to6^+}F(x)=\lim_{x\to6^+}(2x-7)=5,
portanto o limite não existe e, embora F(6)=6-5=1, a descontinuidade em x=6 é essencial (salto).

Resposta

A função é contínua em (-\infty,-2), (-2,1), (1,6) e (6,\infty).
Há descontinuidade essencial (salto) em x=-2; descontinuidade removível em x=1; descontinuidade essencial (salto) em x=6.

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