Faça um esboço do gráfico, determine se a função é contínua e no caso de possuir descontinuidades justifique se são removíveis ou essenciais para: F(x)=\left\{\begin{aligned} 2 x-7, & \text { se } x>6 \\\ x-5, & \text { se } 1<x \leq 6 \\\\ 1, & \text { se } x=1 \\\\ -2 x-2, & \text { se }-2<x<1 \\\\ -1, & \text { se } x=-2 \\\\ 1+x, & \text { se } x<-2\end{aligned}\right.
e pede o esboço do gráfico e o estudo de continuidade. Vamos usar que cada ramo é uma reta (logo contínua no seu intervalo aberto) e verificar limites laterais e valor em x=-2,1,6.
Passo 2
Descrevendo os ramos e seus pontos abertos/fechados:
Para x< -2, reta y=1+x com intervalo aberto em x=-2.
Em x=-2, ponto isolado F(-2)=-1.
Para -2<x<1, reta y=-2x-2 com aberturas em -2 e 1.
Em x=1, ponto isolado F(1)=1.
Para 1<x\le6, reta y=x-5 aberta em 1 e fechada em 6.
Para x>6, reta y=2x-7 com abertura em 6.
O esboço consiste em ligar cada segmento de reta nos intervalos indicados, marcando círculos abertos e fechados conforme a definição.
Passo 3
Os únicos candidatos a descontinuidade são os pontos de troca de ramo: x=-2, x=1 e x=6. Em qualquer outro x, F coincide com uma reta num intervalo aberto, logo é contínua.
Passo 4
No ponto x=-2:
\lim_{x\to-2^-}F(x)=\lim_{x\to-2^-}(1+x)=-1,
\lim_{x\to-2^+}F(x)=\lim_{x\to-2^+}(-2x-2)=2\,.
Como \lim_{x\to-2^-}F\neq\lim_{x\to-2^+}F, o limite não existe e a descontinuidade em x=-2 é essencial (salto).
Passo 5
No ponto x=1:
\lim_{x\to1^-}F(x)=\lim_{x\to1^-}(-2x-2)=-4,
\lim_{x\to1^+}F(x)=\lim_{x\to1^+}(x-5)=-4,
logo \lim_{x\to1}F(x)=-4. Mas F(1)=1\neq -4. O limite existe mas difere do valor, caracterizando descontinuidade removível em x=1.
Passo 6
No ponto x=6:
\lim_{x\to6^-}F(x)=\lim_{x\to6^-}(x-5)=1,
\lim_{x\to6^+}F(x)=\lim_{x\to6^+}(2x-7)=5,
portanto o limite não existe e, embora F(6)=6-5=1, a descontinuidade em x=6 é essencial (salto).
Resposta
A função é contínua em (-\infty,-2), (-2,1), (1,6) e (6,\infty).
Há descontinuidade essencial (salto) em x=-2; descontinuidade removível em x=1; descontinuidade essencial (salto) em x=6.