Determine o conjunto dos pontos (x, y) in R^2 onde a função é diferenciável.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=sinl(2xyraizx^2+y^2r) e pede onde ela é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções compostas e o uso da regra da cadeia, além de cuidar da parte onde o denominador raizx^2+y^2 pode anular.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), temos raizx^2+y^2>0. A função interna g(x,y)=2xyraizx^2+y^2 é composta de somas, produtos e da raiz, todas diferenciáveis onde o argumento da raiz é estritamente positivo. Logo, g é C^infty em (x,y):x^2+y^2>0.
A função externa umapstosin(u) é C^infty em R. Assim, pela regra da cadeia, f(x,y)=sin(g(x,y)) é C^infty em todo ponto onde g é diferenciável, ou seja, em (x,y):x^2+y^2>0.

Passo 3

No ponto (0,0), a expressão 2xyraizx^2+y^2 não está definida, então nem podemos falar em diferenciabilidade de f ali. Mesmo se tentássemos estender por continuidade, as derivadas direcionais não se comportam de forma linear, e daria para mostrar que a derivada total falha.

Passo 4

Portanto, a função f é diferenciável exatamente em todos os pontos (x,y) tais que x^2+y^2>0.

Resposta

(x,y)in R^2:;x^2+y^2>0, isto é, em todos os pontos exceto a origem.

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