Determine o conjunto dos pontos
onde a função
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede onde ela é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções compostas e o uso da regra da cadeia, além de cuidar da parte onde o denominador
pode anular.
Passo 2
Para qualquer ponto
, temos
. A função interna
é composta de somas, produtos e da raiz, todas diferenciáveis onde o argumento da raiz é estritamente positivo. Logo,
é
em
.
A função externa é
em
. Assim, pela regra da cadeia,
é
em todo ponto onde
é diferenciável, ou seja, em
.
A função externa
Passo 3
No ponto
, a expressão
não está definida, então nem podemos falar em diferenciabilidade de
ali. Mesmo se tentássemos estender por continuidade, as derivadas direcionais não se comportam de forma linear, e daria para mostrar que a derivada total falha.
Passo 4
Portanto, a função
é diferenciável exatamente em todos os pontos
tais que
.