Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^t,dtl(e^2t+8e^t+7r)^3/2. O conteúdo é mudança de variável em integrais e manipulação de expressões quadráticas dentro de potências fracionárias.

Passo 2

Vamos usar a substituição x = e^t. Dessa forma, temos dx = e^t,dt, ou seja, e^t,dt = dx.
Reescrevendo a integral em termos de x, obtemos
integral e^t,dtl(e^2t+8e^t+7r)^3/2 = integral dxl(x^2+8x+7r)^3/2

Passo 3

Para resolver
integral dxl(x^2+8x+7r)^3/2,
observamos que a derivada de
h(x)=x+4raizx^2+8x+7
é
h'(x)=-9,(x^2+8x+7)^-3/2
Logo,
(x^2+8x+7)^-3/2 = -tfrac19,h'(x)

Passo 4

Logo a primitiva é
integral (x^2+8x+7)^-3/2,dx = -19,h(x) + C = -19cdotx+4raizx^2+8x+7 + C

Passo 5

Voltando à variável original t, lembrando que x=e^t, a resposta final fica
-e^t+49raize^2t+8e^t+7 + C

Resposta

-\frac{e{t}+4}{9\sqrt{e{2t}+8e^{t}+7}} + C

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