Verifique pela definição que a função llx^4x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0) é diferenciável em (0,0).

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função f: R^2toR definida por
f(x,y)=x^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis pela definição, e vamos precisar usar a existência das derivadas parciais e a condição de que o resto seja o(|(x,y)|).

Passo 2

Para começar, recordamos a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:R^2toR tal que
f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)=ol(|(h,k)|r)
quando (h,k)to(0,0). Além disso, esse L coincide com o gradiente de f em (0,0), isto é, seus coeficientes são as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0). Para partial f/partial x:
f(h,0)-f(0,0)h=h^4/h^2-0h=h^2h=hxrightarrow[hto0]0
Para partial f/partial y:
f(0,h)-f(0,0)h=0-0h=0
Logo, ambas as derivadas parciais valem zero, e o candidato a L é o mapa nulo: L(x,y)=0.

Passo 4

Só falta mostrar que o resto
R(x,y)=f(x,y)-0-0=f(x,y) \né de ordem menor que raizx^2+y^2. Ou seja, verificar
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|raizx^2+y^2=0

Passo 5

Para isso, fazemos uma estimativa. Observe que
|x|^4<=(x^2+y^2)^2
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|f(x,y)|=|x|^4x^2+y^2<=(x^2+y^2)^2x^2+y^2=x^2+y^2
Assim
0<=|f(x,y)|raizx^2+y^2<=x^2+y^2raizx^2+y^2=raizx^2+y^2xrightarrow[(x,y)to(0,0)]0
Isso mostra que o resto é o(|(x,y)|).

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0), e seu diferencial em (0,0) é o mapa linear nulo.

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