Verifique pela definição que a função é diferenciável em .
Passo 1
A questão pede para mostrar que a função definida por
é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis pela definição, e vamos precisar usar a existência das derivadas parciais e a condição de que o resto seja o(|(x,y)|).
Passo 2
Para começar, recordamos a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:R^2toR tal que
f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)=ol(|(h,k)|r)
quando (h,k)to(0,0). Além disso, esse L coincide com o gradiente de f em (0,0), isto é, seus coeficientes são as derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0). Para partial f/partial x: