Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)} d z ;
|z|=1
\oint_{C} \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)} d z ;
|z|=1
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao longo do contorno
. O conteúdo é integrais de funções com singularidades dentro de um contorno fechado, então vamos usar o Teorema de Cauchy (5.5.1) e o Teorema de Resíduos (5.5.2), que dizem que a integral é
vezes a soma dos resíduos dos polos dentro de
.
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades de
: há um polo de ordem 2 em
e um polo simples em
. Como
, apenas
está dentro de
.
Passo 3
Para calcular o resíduo em
(polo de ordem 2), usamos o Teorema 5.5.2 que diz:
Derivando:
Em
isso fica
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Cauchy/Resíduos (5.5.1):
[
\oint_Cf(z),dz=2\pi i\sum_{polos dentro}\operatorname{Res}(f)
=2\pi i\Bigl(-\tfrac12+\tfrac{3}{2}i\Bigr)
=-\pi i+3\pi i^2=-3\pi-\pi i.
\oint_Cf(z),dz=2\pi i\sum_{polos dentro}\operatorname{Res}(f)
=2\pi i\Bigl(-\tfrac12+\tfrac{3}{2}i\Bigr)
=-\pi i+3\pi i^2=-3\pi-\pi i.
Resposta
-3\pi-\pi i