Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)} d z ;
|z|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCz+2z^2(z-1-i),dz ao longo do contorno C:lvert zrvert=1. O conteúdo é integrais de funções com singularidades dentro de um contorno fechado, então vamos usar o Teorema de Cauchy (5.5.1) e o Teorema de Resíduos (5.5.2), que dizem que a integral é 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro de C.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades de f(z)=z+2z^2(z-1-i): há um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=1+i. Como |1+i|=raiz2>1, apenas z=0 está dentro de C.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=0 (polo de ordem 2), usamos o Teorema 5.5.2 que diz:
Res(f,0)=limzto0ddzl[(z-0)^2f(z)r] =limzto0ddzz+2z-1-i
Derivando:
ddzz+2z-1-i=(1),(z-1-i)-(z+2),(1)(z-1-i)^2 =z-1-i-z-2(z-1-i)^2= rac-3-i(z-1-i)^2
Em z=0 isso fica
-3-i(-1-i)^2= rac-3-i2i=-tfrac12+tfrac32i

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Cauchy/Resíduos (5.5.1):
[
\oint_Cf(z),dz=2\pi i\sum_{polos dentro}\operatorname{Res}(f)
=2\pi i\Bigl(-\tfrac12+\tfrac{3}{2}i\Bigr)
=-\pi i+3\pi i^2=-3\pi-\pi i.

Resposta

-3\pi-\pi i

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