Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^-x,dxl(9e^-2x+1r)^3/2. O conteúdo envolve integração por substituição, pois vemos e^-x e e^-2x no integrando. Vamos usar uma substituição que simplifique o denominador.

Passo 2

Vamos definir u = e^-x. Então du = -e^-x,dx, isto é, e^-x,dx = -du. Substituindo na integral, obtemos
integral e^-x,dxl(9e^-2x+1r)^3/2 = -integral dul(9u^2+1r)^3/2

Passo 3

Para resolver integral du(9u^2+1)^3/2, usamos a fórmula padrão
integral dx(a^2x^2+1)^3/2 = xa^2raiza^2x^2+1 + C
Aqui a^2=9, ou seja, a=3. Logo,
$$
\int \frac{du}{(9u2+1){3/2}} = \frac{u}{9\bigl/9\bigr.\sqrt{9u^2+1}}? integral du(9u^2+1)^3/2 = u9l/9rraiz9u^2+1?
\int \frac{du}{(9u2+1){3/2}} = \frac{u}{\sqrt{9u^2+1}} + C.
$$

Passo 4

Voltando à nossa integral original, temos
integral e^-x,dx(9e^-2x+1)^3/2 = -uraiz9u^2+1 + C = -e^-xraiz9e^-2x+1 + C

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais multiplicando numerador e denominador por e^x, pois
e^-xraiz9e^-2x+1 = 1raiz9+e^2x
Então a forma final fica bem simples.

Resposta

-1raiz9+e^2x + C

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