Determine se o conjunto S=(5,4,3),(-1,2,1),(2,4,1)) gera o R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1 = (5,4,3), v2 = (-1,2,1), v3 = (2,4,1)
e pede para verificar se S=v1,v2,v3 gera R^3.
Conteúdo: em R^3, um conjunto de três vetores gera o espaço se, e somente se, eles forem linearmente independentes. Para testar independência, podemos montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante.

Passo 2

Formamos a matriz A usando os vetores como colunas:
A = 5 & -1 & 2 4 & 2 & 4 3 & 1 & 1
Se det(A)neq 0, então os vetores são linearmente independentes e, consequentemente, geram R^3.

Passo 3

Vamos calcular det(A) pelo método de Sarrus (regra para 3times3):
det(A) =5cdot2cdot1 +(-1)cdot4cdot3 +2cdot4cdot1 ;-;l(2cdot2cdot3 +5cdot4cdot1 +(-1)cdot4cdot1r)
Calculando cada termo:
5cdot2cdot1 =10, (-1)cdot4cdot3=-12, 2cdot4cdot1=8,
2cdot2cdot3=12, 5cdot4cdot1=20, (-1)cdot4cdot1=-4
Logo,
det(A)=(10 -12 +8) - (12 +20 -4) =6 - 28 =-22

Passo 4

Como det(A)=-22neq0, os vetores são linearmente independentes. Logo, S gera todo R^3.

Resposta

O conjunto S gera R^3.

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