Idem:
(1,0,-2),(2,1,1),(1,2,8) subset R^3 é LI?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto (1,0,-2),(2,1,1),(1,2,8)subsetR^3 é linearmente independente. Vamos usar a definição: o conjunto é LI se a única solução da combinação
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
for c1 = c2 = c3 = 0. Para isso, montamos o sistema linear em (c1,c2,c3).

Passo 2

Sejam v1=(1,0,-2), v2=(2,1,1) e v3=(1,2,8). A combinação
c1v1 + c2v2 + c3v3 = (0,0,0)
gera o sistema
c1 + 2c2 + c3 = 0, ;c2 + 2c3 = 0, -2c1 + c2 + 8c3 = 0

Passo 3

Da segunda equação tiramos
c2 = -2c3
Substituindo na primeira:
c1 + 2(-2c3) + c3 = c1 - 3c3 = 0 Longrightarrow c1 = 3c3
Na terceira equação aparece
-2(3c3) + (-2c3) + 8c3 = 0,
isto é, 0=0, mostrando que ela não impõe nova restrição.

Passo 4

Como c3 é livre, existem soluções não-triviais (por exemplo, (c1,c2,c3)=(3,-2,1)). Isso prova que há dependência linear entre os vetores.

Resposta

O conjunto não é linearmente independente (é linearmente dependente).

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