Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,3) na base beta=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de v=(1,2,3) na base
beta=,b1=(1,1,1),;b2=(0,1,1),;b3=(0,0,1).
O conteúdo é mudança de base: expressar v como combinação linear de b1,b2,b3.

Passo 2

Suponha
v = c1,b1 + c2,b2 + c3,b3
e expanda em coordenadas:
c1(1,1,1) + c2(0,1,1) + c3(0,0,1) = (c1,;c1+c2,;c1+c2+c3)

Passo 3

Igualando componente a componente com (1,2,3), obtemos o sistema
c1 = 1, c1 + c2 = 2, c1 + c2 + c3 = 3

Passo 4

Resolva em sequência:
a) De c1=1 segue
c2 = 2 - c1 = 2 - 1 = 1
b) Com c1=1 e c2=1, da terceira equação
c3 = 3 - c1 - c2 = 3 - 1 - 1 = 1

Resposta

As coordenadas de v na base beta são
(c1,c2,c3) = (1,,1,,1)

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