Se V é um espaço vetorial e
é um subespaço tal que o conjunto diferença
é finito, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais. Temos um espaço vetorial
e um subespaço
dentro dele. O que a questão nos diz é que a diferença entre
e
(
) é um conjunto finito. Nosso objetivo é mostrar que, na verdade,
é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial e um subespaço. Um espaço vetorial
é basicamente um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares, seguindo certas regras. Um subespaço
de
é um conjunto de vetores dentro de
que também forma um espaço vetorial por si só.
Passo 3
Agora, a diferença
representa todos os vetores que estão em
mas não estão em
. A questão diz que esse conjunto é finito, ou seja, existem apenas alguns vetores em
que não estão em
.
Passo 4
Vamos pensar sobre isso: se
é um subespaço e falta apenas um número finito de vetores para completar
, será que isso pode acontecer se
for realmente menor que
?
Passo 5
Na verdade, não. Por que? Porque se
é um subespaço, ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores em
, a soma deles também está em
, e se multiplicarmos um vetor de
por qualquer número, ele ainda estará em
.
Passo 6
Digamos que
não seja igual a
. Então, existem vetores em
que não estão em
. Vamos chamar um desses vetores de
. Como
é um subespaço, qualquer combinação linear de
com vetores de
também deve estar em
.
Passo 7
Mas se
é finito, significa que só tem alguns vetores fora de
. Mas combinando
com vetores de
, a gente consegue criar infinitos vetores, o que contradiz o fato de que
é finito.
Passo 8
Portanto, a única possibilidade consistente é que não existam vetores fora de
, ou seja,
está vazio.
Resposta
Assim, concluímos que
.