Se V é um espaço vetorial e W subset V é um subespaço tal que o conjunto diferença V setminus W é finito, mostre que W=V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais. Temos um espaço vetorial V e um subespaço W dentro dele. O que a questão nos diz é que a diferença entre V e W ( V setminus W ) é um conjunto finito. Nosso objetivo é mostrar que, na verdade, W é igual a V .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial e um subespaço. Um espaço vetorial V é basicamente um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares, seguindo certas regras. Um subespaço W de V é um conjunto de vetores dentro de V que também forma um espaço vetorial por si só.

Passo 3

Agora, a diferença V setminus W representa todos os vetores que estão em V mas não estão em W . A questão diz que esse conjunto é finito, ou seja, existem apenas alguns vetores em V que não estão em W .

Passo 4

Vamos pensar sobre isso: se W é um subespaço e falta apenas um número finito de vetores para completar V , será que isso pode acontecer se W for realmente menor que V ?

Passo 5

Na verdade, não. Por que? Porque se W é um subespaço, ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores em W , a soma deles também está em W , e se multiplicarmos um vetor de W por qualquer número, ele ainda estará em W .

Passo 6

Digamos que W não seja igual a V . Então, existem vetores em V que não estão em W . Vamos chamar um desses vetores de v . Como W é um subespaço, qualquer combinação linear de v com vetores de W também deve estar em V .

Passo 7

Mas se V setminus W é finito, significa que só tem alguns vetores fora de W . Mas combinando v com vetores de W , a gente consegue criar infinitos vetores, o que contradiz o fato de que V setminus W é finito.

Passo 8

Portanto, a única possibilidade consistente é que não existam vetores fora de W , ou seja, V setminus W está vazio.

Resposta

Assim, concluímos que W = V .

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