Idem:
(1,0,-2),(2,1,1),(4,1,-1) subset R^3 é LI?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
v1=(1,0,-2),;v2=(2,1,1),;v3=(4,1,-1)
em R^3 e pergunta se eles são linearmente independentes. Vamos usar o critério de determinante não nulo, que garante independência em R^3.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero:
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0,
o que gera o sistema
a + 2b + 4c = 0, a0 + b + c = 0, -2a + b - c = 0

Passo 3

Montamos a matriz dos coeficientes desse sistema:
M = 1 & 2 & 4 0 & 1 & 1 -2 & 1 & -1
e vamos calcular o seu determinante det(M).

Passo 4

Calculando det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) = 1cdot1 & 11 & -1 - 2cdot0 & 1-2 & -1 + 4cdot0 & 1-2 & 1
= 1cdot(-1 - 1) - 2cdotl(0 -(-2)r) + 4cdotl(0 -(-2)r) = -2 - 2cdot2 + 4cdot2 = 2
Como det(M)=2neq 0, só existe a solução trivial a=b=c=0.

Passo 5

Pelo critério do determinante não nulo em R^3, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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